Über die Weyl-Algebra und das Theorem von Stafford

Studienarbeit im Fach Informatik

Vorgelegt von Martin Hofmann

geboren am 9. November 1965 in Erlangen

Angefertigt 1987

Lehrstuhl I für Automatentheorie und formale Sprachen des Instituts für mathematische Maschinen und Datenverarbeitung der

Universität Erlangen - Nürnberg

Betreuer: Dr. Volker Strehl

Hiermit versichere ich, daß ich diese Arbeit selbständig und unter ausschließlicher Verwendung der angegebenen Literatur angefertigt habe.

Erlangen, den 28. Oktober 1996

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung und Motivation 2

2 Algebraische Grundlagen 6 2.1 Zur Komplexnotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Isomorphiesätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Die Länge eines Moduls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 Die Weyl-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.5 Einfache Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.6 Ore-Domains und Quotientenringe . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.7 Zwei Theoreme über die Weyl-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Der Beweis des Theorems von Stafford 18 3.1 Staffords Theorem für A_{1}(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2 Staffords Theorem für A_{n}(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3 Der Ring S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Ein Beispiel 35 4.1 Erster Schritt: Lemmata 3.2.2, 3.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2 Zweiter Schritt: Lemmata 3.2.5, 3.2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3 Die erste Anwendung von 3.2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.4 Dritter Schritt: Wieder Lemma 3.2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.5 Die zweite Anwendung von 3.2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.6 Die dritte Anwendung von 3.2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.7 Zusammenfassung der gewonnenen Werte . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Algorithmisches 45 5.1 Die Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.3 Ore-Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.4 Zur Konstruktivität der Resultate aus Abschnitt 3.3 . . . . . . . 49

6 Schlußbetrachtung 51

1 Einleitung und Motivation

Vor etwa einem Jahr wurde von Zeilberger [Zei 88] eine Methode zur automatischen Verifikation von Identitäten über einer sehr großen Klasse von kontinuierlichen und diskreten Funktionen vorgestellt. Dabei charakterisiert man die linke und die rechte Seite durch ein System von Differential- bzw. Rekursionsgleichungen mit geeigneten Anfangsbedingungen und weist nach, daß die beiden so erhaltenen Systeme die gleiche Funktion beschreiben.

Ein Beispiel Es sei die Identität

f(x) = g(x)

mit f(x) = sin(x + a) und g(x) = sin x cos a + cos x sin a zu verifizieren. Sowohl f als auch g lösen die Differentialgleichung

y′′ + y = 0

und es ist f(0) = g(0) = sin(a) und f′(0) = g′(0) = cos(a) . Folglich ist f = g.

Solch ein Verfahren ist allerdings nur dann effektiv und unabhängig von der jeweiligen Identität, wenn

• es effektiv möglich ist, zu entscheiden, ob zwei Systeme von partiellen Differentialgleichungen mit Anfangsbedingungen dieselbe Funktion beschreiben.

• es möglich ist, ausgehend von einem ”Ausdruck“ für eine Funktion effektiv ein Differentialgleichungssystem und (endlich viele) Anfangsbedingungen zu berechnen, welches erstere eindeutig charakterisiert.

Es liegt auf der Hand, daß diese beiden Forderungen die Klasse der behandelbaren Funktionen und der zulässigen Differentialgleichungen einschränken.

In seiner Arbeit nun gibt Zeilberger eine Klasse von Funktionen an, die die üblichen Grundfunktionen (trigonometrische, Potenz-, Exponential-, Bessel-, etc. Funktionen) enthält und die unter Summe, Produkt, elementaren Variablentransformationen ^{1} sowie ∑ und ∫ abgeschlossen ist, derart daß die obigen zwei Forderungen erfüllt werden können:

Als Gleichungen läßt er homogen lineare partielle DGL mit polynomialen Koeffizienten zu, und die zulässigen Funktionen sind die stetigen, unendlich oft differenzierbaren, welche sich durch ein System von solchen Differentialgleichungen und endlich viele Anfangsbedingungen eindeutig charakterisieren lassen.

1Damit sind Identifikation von Variablen, Einführung von Dummy-Variablen, sowie Permutation und Parametrisierung von Variablen gemeint. Da die o. a. Funktionenklasse unter Komposition nicht abgeschlossen ist, muß man diese ”technischen Details“ separat fordern.

Solche Funktionen nennt er holonom.

Es erweist sich als günstig, eine Lösung f einer solchen DGL als Nullstelle eines linearen Differentialoperators P

P f = 0

aufzufassen. Die Menge der zulässigen Differentialoperatoren ist dann die sog. Weyl-Algebra A_{n}(K) = K⟨x_{1}⋯x_{n}, ∂_{1}⋯∂_{n}⟩, wobei die x_{i} die Multiplikationsoperatoren ”mal x_{i} “ und die ∂_{i} die partiellen Ableitungsoperatoren ”differenzieren nach x_{i} “ bedeuten. (K ist der zugrundegelegte Körper; im allgemeinen R oder C.)

Die obige DGL y′′ + y = 0 schreibt sich dann etwa

(∂_{1}^{2} + 1)y = 0

Nun ist mit P f = 0 und Qf = 0 auch RP f = 0 und (P + Q)f = 0, weshalb die Menge der Differentialoperatoren, die eine bestimmte (fest gewählte) Funktion f annihilieren (als Nullstelle haben), ein Ideal in A_{n}(K) – das sog. Annihilationsideal von f – bilden.

Um von bestimmten DGL-Systemen, die f beschreiben, zu abstrahieren, betrachtet man gleich das gesamte Annihilationsideal von f in A_{n}(K) .

Holonom sind dann die Funktionen, die durch ihr Annihilationsideal und endlich viele Bedingungen der Form

P f(0) = y_{0}

mit y_{0} ∈ K und P ∈ A_{n}(K) eindeutig bestimmt sind.

Zeilberger gibt auch eine exakte algebraische Definition dieser Eigenschaft; informell besagt diese, daß f holonom ist, wenn das Annihilationsideal I_{f} nicht zu klein ist, bzw. der Modul A_{n}(K)/I_{f} ≃ A_{n}(K)f nicht zu groß ist.

Es zeigt sich, daß A_{n}(K) noethersch ist, d.h. daß jedes Ideal (also auch die Annihilationsideale) endlich erzeugt ist, und somit einer algorithmischen Behandlung zugänglich ist.

Die Spezifikation einer Funktion f durch ein Erzeugendensystem ihres Annihilationsideals und geeignete Anfangsbedingungen wird als holonome Repräsentation von f bezeichnet.

In der Arbeit von Zeilberger sind nun Algorithmen angegeben, die ausgehend von holonomen Repräsentationen zweier Funktionen eine holonome Repräsentation ihrer Summe, sowie ihres (punktweisen) Produkts zu berechnen gestatten. Außerdem wird gezeigt, wie zur holonomen Repräsentation einer l-stelligen Funktion eine holonome Repräsentation der l − 1 -stelligen Funktion

∫ f := ∫_{K} f(x_{1}⋯x_{l})dx_{l}

berechnet werden kann.

Für den Test auf Äquivalenz zweier holonomer Repräsentationen gibt Zeilberger nur ein informelles Verfahren an; Galligo [Gal 83] allerdings paßt die Methode der Gröbner-Basen an die Weyl-Algebra an und gibt so ein effektives Verfahren zum Test der Gleichheit zweier A_{n}(K) -Ideale.

Es erhebt sich nun die Frage, wieviele Gleichungen denn erforderlich sind, um eine Funktion zu spezifizieren, bzw. wieviel Operatoren notwendig sind, um ein gegebenes A_{n}(K) -Ideal zu erzeugen. Man könnte meinen, daß diese Zahl mit der Anzahl der vorkommenden Variablen wachse, dem ist nicht so; im Gegenteil konnte Stafford [Sta 78] zeigen, daß jedes A_{n}(K) -Ideal schon von zwei Elementen erzeugt werden kann.

Das bedeutet also, daß eine holonome Funktion, gleichgültig wie viele Variablen in ihr vorkommen, stets durch zwei homogen lineare Differentialgleichungen mit polynomialen Koeffizienten und endlich viele Anfangsbedingungen charakterisiert werden kann.

Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist eine Darstellung des Beweises dieses Resultats, sowie der zum Verständnis desselben erforderlichen algebraischen Hilfsmittel, soweit diese über das im Informatik-Grundstudium vermittelte Wissen hinausgehen. Darüberhinaus geht diese Arbeit der Frage nach, inwieweit der Staffordsche Beweis konstruktiv ist, ob also zu einem durch ein Erzeugendensystem gegebenen Ideal die beiden Erzeuger effektiv berechnet werden können. Dies ist bis jetzt nur im Falle einer Variablen möglich, es wird in dieser Arbeit jedoch die Konstruktion anhand eines Beispiels mit drei Variablen nachvollzogen.

Alle wesentlichen Resultate, die in dieser Arbeit vorgestellt werden, gehen auf J. E. Björk, A. Galligo und J. T. Stafford zurück. Auf diese Autoren nehme ich auch ohne ausdrückliche Erwähnung Bezug.

2 Algebraische Grundlagen

Dieses Kapitel behandelt die weniger bekannten algebraischen Begriffe und Sätze, die im folgenden und für den Beweis des Theorems von Stafford von Bedeutung sind. Außerdem werden einige grundlegende Tatsachen über die Weyl-Algebra vorgestellt und bewiesen. Zum Verständnis vorausgesetzt werden insbesondere elementare Kenntnisse über die algebraischen Strukturen Ring, Ideal und Modul. Für eine diesbezügliche Einführung konsultiere man etwa [Lan 68].

2.1 Zur Komplexnotation

Wie in der Theorie der formalen Sprachen ist es auch in der Ring- und Modultheorie üblich, neben Einzelelementen ganze Mengen (Komplexe) zu addieren und multiplizieren (z.B I = Ar + As), um die Notation zu vereinfachen und den Blick für das Wesentliche zu öffnen. In diesem Abschnitt wird diese sogenannte Komplexnotation formal eingeführt und anhand einiger für die weiteren Anwendungen wichtiger Beispiele verdeutlicht.

Definition 2.1.1 (Summe)

Sind A und B Teilmengen ein und desselben Ringes oder Teilmengen ein und desselben Moduls, dann bezeichnet A + B die Menge {a + b | a ∈ A, b ∈ B}

Definition 2.1.2 (Komplexprodukt)

Ist A Teilmenge eines Ringes R und B Teilmenge von R selbst oder von einem R-Modul, dann bezeichnet AB=A · B die Menge

{∑_{ν=1}^{n} a_{ν}b_{ν} | n ≥ 1, a_{ν} ∈ A, b_{ν} ∈ B für ν = 1⋯n}

Spezialfälle: Normalerweise verwendet man diese Schreibweisen nur, wenn im Falle von A + B sowohl A, als auch B und im Falle von AB zumindest A ein R-Linksideal ist (analog für Rechtsideale). Dann ist nämlich A + B das von A und B erzeugte Ideal und AB das/der von den Produkten ab (a ∈ A, b ∈ B) erzeugte Ideal/Modul.

Ist (im Falle von AB) zusätzlich B eine Einermenge, so schreibt man statt A{b} auch Ab und es ist Ab = {ab | a ∈ A}. (Die Summe wird dann überflüssig, da A unter Addition abgeschlossen ist.

Beispiele:

• Der Ausdruck

Rf + Rg

bezeichnet das von f und g erzeugte R-Linksideal.

R(f + g)

dagegen das von f + g erzeugte Ideal. (Es ist R(f + g) ⊂ Rf + Rg)

• Sind A und B Untermoduln eines gemeinsamen Moduls und ist A∩B = 0^{2} , so gestattet jedes Element f von A + B eine eindeutige Zerlegung f = a + b mit a ∈ A und b ∈ B. In diesem Fall bezeichnet man A + B als direkte Summe von A und B und schreibt zur Verdeutlichung auch A ⊕ B.

• Mit

RuR

ist das von u erzeugte zweiseitige Ideal gemeint. Es ist

RuR = {∑_{ν=1}^{n} l_{ν}ur_{ν} | n ≥ 1, l_{ν}, r_{ν} ∈ R}

• Ist M irreduzibler R-Modul, also einer ohne nichttriviale Untermoduln,

dann ist

M = Rξ

für beliebiges ξ ≠ 0 ∈ M.

• Sind M und N R-Moduln und ist N Untermodul von M, so kann man den Faktormodul M/N betrachten, der als Menge der Äquivalenzklassen der Relation ≃_{N} mit

a ≃_{N} b :⇔ a − b ∈ N

erklärt ist. Die zu einem festen Element a ∈ M gehörige ≃_{N}-Klasse schreibt sich dann

a + N

denn wenn a ≃_{N} b so ist a + N = b + N und umgekehrt. dies bezeichnet die Menge {m ∈ M | m − a ∈ N}

2.2 Isomorphiesätze

In diesem Abschnitt werden einige bekannte Isomorphiesätze zusammengestellt, die später kommentarlos verwendet werden.

Alle vorkommenden Moduln sind Linksmoduln über ein- und demselben Ring R.

Satz 2.2.1 Sind A und B Untermoduln ein und desselben Moduls, so ist

\frac{A + B}{B} ≃ \frac{A}{A ∩ B}

2Das Symbol 0 meint hier und im folgenden die Menge {0}; je nach Kontext mit (trivialer)

Ring-, Ideal- oder Modulstruktur. Diese Schreibweise erklärt sich aus der Auffassung dieser Objekte als Nullobjekte im kategoriellen Sinn.

Beweis. Wir betrachten den Morphismus

ϕ : \frac{A}{A ∩ B} → \frac{A + B}{B}

a + (A ∩ B) ↦ a + 0 + B

Wir überlegen uns zunächst, daß ϕ wohldefiniert ist:

Ist a + (A ∩ B) = a′ + (A ∩ B), dann liegt a − a′ in A ∩ B, also insbesondere in B. Also ist dann auch ϕ(a + (A ∩ B)) = ϕ(a′ + (A ∩ B)).

Als nächstes zeigen wir die Surjektivität von ϕ:

Für beliebige a ∈ A, b ∈ B ist a + b + B = a + 0 + B = ϕ(a + (A ∩ B)). Jedes Element der linken Seite hat also ein ϕ-Urbild.

Für die Injektivität müssen wir nur zeigen, daß der Kern von ϕ Null ist:

ϕ(a + (A ∩ B)) = 0 ⇒ a ∈ B ⇒ a ∈ A ∩ B ⇒ a + (A ∩ B) = 0

Die Abbildung ϕ ist also Isomorphismus. □

Satz 2.2.2 Sind A, B Untermoduln ein und desselben Moduls und weiterhin B ⊂ A, dann ist

\frac{A ⊕ A}{B ⊕ B} ≃ \frac{A}{B} ⊕ \frac{A}{B}

(Das Symbol ⊕ bezeichnet hier die direkte Summe disjunkter Kopien.)

Beweis.

ϕ : \frac{A ⊕ A}{B ⊕ B} → \frac{A}{B} ⊕ \frac{A}{B}

a_{1} ⊕ a_{2} + (B ⊕ B) ↦ (a_{1} + B) ⊕ (a_{2} + B)

ist Isomorphismus. □

Satz 2.2.3 Ist A ein Modul und ξ ein von Null verschiedenes Element von A. Dann ist

Rξ ≃ R/I_{ξ}

wobei Rξ der von ξ erzeugte Untermodul von A ist und I_{ξ} die Menge {r ∈ R | rξ = 0}, also das sogenannte Annihilationsideal, von ξ bezeichnet.

Beweis. Die Abbildung

ϕ : Rξ → R/I_{ξ}
rξ ↦ r + I_{ξ}

ist Isomorphismus. □

2.3 Die Länge eines Moduls

Sei A ein Ring und M ein A-Modul. Unter der Länge von M versteht man die maximale Länge einer streng monoton aufsteigenden Kette von echten Untermoduln von M. Existiert kein solches Maximum, sei es, weil es beliebig lange endliche Ketten von Untermoduln gibt, sei es, weil M eine unendliche Kette von Untermoduln zuläßt, so sagt man, M habe unendliche Länge.

Hat M die Länge eins, so heißt M irreduzibel. M hat dann außer 0 keine echten Untermoduln.

Für die weiteren Betrachtungen wichtig ist folgendes: Ist G ein A-Modul und ist M Untermodul von G, so besteht eine eindeutige Korrespondenz zwischen den Untermoduln von G/M und den Obermoduln von M, die gleichzeitig Untermoduln von G sind, also denen, die zwischen M und G liegen:

Ist nämlich M ⊂ M′ ⊂ G, so ist M′/M ⊂ G/M. Ist umgekehrt N ⊂ G/M, so liegt der Modul {x ∈ G | x + M ∈ N} zwischen M und G, da für x ∈ M x + M = 0 + M ∈ N ist. Man überlegt sich leicht, daß die eine Beziehung die Umkehrung der anderen ist.

Die Existenz dieser Korrespondenz hat zur Folge, daß die Länge von G/M auch eine Schranke für die Länge einer aufsteigenden Kette von Moduln zwischen M und G bildet. Ist insbesondere G/M irreduzibel, so folgt aus M ⊂ M′ ⊂ G, daß M′ gleich M oder gleich G ist.

Weiterhin hat, wenn G/M die Länge S hat und M ^{⊂}_{≠} M′ ⊂ G ist, G/M′ höchstens die Länge s − 1.

2.4 Die Weyl-Algebra

Seien K ein kommutativer Körper der Charakteristik Null und x_{1}⋯x_{n} neue Variablen, die untereinander und mit den Elementen aus K kommutieren. Wir können dann K[x_{1}⋯x_{n}] – die Menge der Polynome in x_{1} ⋯ x_{n} über K – bilden. Auf dieser definieren wir nun die Multiplikationsoperatoren x_{j} , wobei x_{j}f = (x_{j}f) und die Ableitungsoperatoren ∂_{j} mit ∂_{j}f = ∂/∂x_{j} f. Die von diesen K-linearen Operatoren erzeugte K-Algebra wird als Weyl-Algebra über K in x_{1} ⋯ x_{n} und ∂_{1} ⋯ ∂_{n}, i. Z. A_{n}(K) bezeichnet.

Da ∂_{j}x_{j}f = f + x_{j}∂_{j}f ist, gilt in A_{n}(K) , daß [∂_{j}, x_{j}] = ∂_{j}x_{j} − x_{j}∂_{j} = 1. Nachdem alle anderen Paare von Generatoren kommmutieren, erhalten wir für die Kommutationsrelationen in A_{n}(K) zusammenfassend:

• [∂_{i}, x_{j}] = δ_{ij} (Kronecker-Symbol)

• [∂_{i}, ∂_{j}] = 0

• [x_{i}, x_{j}] = 0

A_{n}(K) ist also isomorph zur freien nichtkommutativen K-Algebra über x_{1} ⋯x_{n} und ∂_{1} ⋯∂_{n} modulo der obigen Relationen.

Bemerkung 2.4.1 Durch Induktion kann man zeigen, daß für beliebiges P ∈ A_{n}(K) das Produkt ∂_{j}P = P ∂_{j} + d/dx_{j} P und daß P x_{j} = x_{j}P + d/d∂_{j} P ist.

Bemerkung 2.4.2 Ein wichtiger Spezialfall (vgl. 3.1 und 2.7.2) ist die Weyl-Algebra in einer Variablen A_{1}(K) = K⟨x, ∂⟩ kurz A_{1} geschrieben.

Wir beginnen das Studium von A_{n}(K) mit dem

Satz 2.4.3 Jedes Element f ≠ 0 von A_{n}(K) gestattet eine eindeutige Darstellung als endliche Summe der Form

f = ∑_{α,β} d_{αβ} x^{α} ∂^{β}

mit x = (x_{1}⋯x_{n}), ∂ = (∂_{1}⋯∂_{n}), α, β Multiindices und d_{αβ} ∈ K \ 0. ^{3}

Beweis. Durch Anwendung der Kommutationsrelationen läßt sich f immer auf die Normalform bringen.

Um die Eindeutigkeit zu zeigen, weisen wir nach, daß die Monome x^{α}∂^{β} über K linear unabhängig sind. Sei also S := ∑_{α,β} d_{αβ} x^{α} ∂^{β} = 0 und dennoch mindestens ein d_{αβ} von Null verschieden. Ist x^{α} ein Monom aus K[x_{1} ⋯ x_{n}], so operiert ∂^{β} auf diesem wie folgt:

∂^{β}(x^{α}) = 0, falls β_{j} > α_{j} für ein j

∂^{β}(x^{β}) = β! = β_{1}! ⋯ β_{n}! ∈ K \ 0

∂^{β}(x^{α}) = kx^{α−β}, k ∈ K \ 0, falls β_{j} ≤ α_{j} für alle j.

Nun bestimmen wir einen Multiindex β^{∗}, so daß d_{αβ^{∗}} ≠ 0 für ein gewisses α und d_{αβ} = 0, wenn |β| = β_{1} + ⋯ + β_{n} < |β^{∗}|. (β^{∗} ist also bezüglich |.| minimal gewählt.) und wenden S auf x^{β^{∗}} an, was S(x^{β^{∗}}) = β^{∗}! ∑_{α} d_{αβ^{∗}}x^{α} liefert. Da char(K) Null ist, ist dies von Null verschieden und steht somit im Widerspruch zur Annahme, daß S = 0 sei.□

Definition 2.4.4 Für ν ≥ 0 sei T_{ν} der von den Monomen x^{α}∂^{β} mit |α|+|β| ≤ ν (α, β Multiindices) erzeugte K-Vektorraum. Es ist ⋃_{n≥0} T_{n} = A_{n}(K). {T_{n}}_{n} wird als Bernstein-Filter von A_{n}(K) bezeichnet.

Offensichtlich ist T_{0} ⊂ T_{1} ⊂ ⋯ eine streng monotone Folge von endlichdimensionalen K-Vektorräumen und T_{ν}T_{k} ⊂ T_{ν+k}. D. h., wenn D ∈ T_{ν} und E ∈ T_{k}, dann liegt das Produkt DE in T_{ν+k}.

2.5 Einfache Ringe

Definition 2.5.1 Ein Ring A heißt einfach, wenn er keine nichttrivialen, also von 0 und A verschiedenen zweiseitigen Ideale besitzt.

3x^{α} bedeutet x_{1}^{α_{1}} · . . . · x_{n}^{α_{n}} für α = (α_{1}⋯α_{n}) und x = (x_{1}⋯x_{n})

A ist offenbar genau dann einfach, wenn für beliebiges ρ ∈ A \ {0} das von ρ erzeugte zweiseitige Ideal gleich A ist.

Aus der Einfachheit von A folgt nun nicht, daß zu beliebigem ρ ∈ A, ρ ≠ 0 l, r ∈ A existieren, so daß lρr = 1 wäre, sondern nur die Existenz von l_{μ} und r_{μ} mit ∑_{μ=1}^{m} l_{μ}ρr_{μ} = 1

Gleichwohl gibt es, wenn L ≠ A Linksideal ist, r ∈ A’ so daß ρr ∉ L. Denn wären alle ρr_{μ} ∈ L, dann auch ∑_{μ=1}^{m} l_{μ}ρr_{μ} = 1.

Satz 2.5.2 A_{n}(K) ist einfach.

Beweis. Wir können per Induktion annehmen, daß für alle ρ aus T_{ν−1} das zugehörige zweiseitige Ideal gleich A_{n}(K) ist.

Die Einfachheit von A_{n}(K) folgt also aus

Lemma 2.5.3 Zu jedem ρ aus T_{ν} gibt es σ aus T_{1} so, daß [ρ, σ] = ρσ − σρ aus T_{ν−1} \ {0} ist.

Beweis. Ist ρ = H + R, wobei H ∈ T_{ν} \ T_{ν−1} und R ∈ T_{ν−1} (H ist das sog. Hauptsymbol τ(ρ)), so ist [H, x_{j}] ∈ T_{ν−1} und genau dann von Null verschieden, wenn H echt von ∂_{j} abhängt. Ebenso ist [H, ∂_{j}] ∈ T_{ν−1} und ungleich Null genau dann, wenn x_{j} in H vorkommt. Das ist so, weil [∂_{j}^{a} m, x_{j}] = a∂_{j}^{a−1} m und [x_{j}^{a} m, ∂_{j}] = −a x^{a−1}m wenn m und x_{j} bzw. m und ∂_{j} kommutieren, und weil a = 1 + 1 + ⋯ + 1 in K von Null verschieden ist, wenn wie vorausgesetzt K Charakteristik Null hat.

Induktiv können wir nun annehmen, daß [R, x_{j}] und [R, ∂_{j}] in T_{ν−2} liegen und somit ist [ρ, ∂_{j}] bzw. [ρ, x_{j}] (je nachdem, welche Variable in H vorkommt) von Null verschieden und aus T_{ν−1}.□

Einfache Algebren Eine einfache K-Algebra ist ein einfacher Ring S, dessen Zentrum den Körper K enthält; d. h. K ⊂ S und die Elemente von K kommutieren mit allen Elementen von S. (K selbst ist dann natürlich kommutativ.). Ist S einfache K-Algebra, dann haben S selbst und jeder S-Modul eine Struktur als K-Vektorraum. Für einfache K-Algebren und ihre Moduln gilt der folgende

Satz 2.5.4 Ist S einfache K-Algebra unendlicher Dimension als K-Vektorraum, dann haben alle von Null verschiedenen S (Links-)Moduln auch unendliche Dimension als K-Vektorräume.

Beweis. Sei M = _{S}M ein S-Modul der K-Dimension d < ∞. Wir zeigen, daß M Null ist:

Mit M ist auch Hom_{K}(M, M), die Menge der K-linearen Abbildungen von M nach M, endlichdimensionaler K-Vektorraum. (Ist M ≃ K^{d}, so ist Hom_{K}(M, M) ≃ K^{d×d}.)

Betrachten wir die K-lineare Abbildung

ϕ : S → Hom_{K}(M, M)
ϕ(s)(m) := sm

die die Wirkung der Ringelemente auf die Elemente von M beschreibt. Da S im Gegensatz zu Hom_{K}(M, M) von unendlicher Dimension als K-Vektorraum ist, kann ϕ nicht injektiv sein, hat also von Null verschiedenen Kern. Sei also u ≠ 0 ∈ Ker ϕ. Dann ist um = 0 für alle m ∈ M, also kurz uM = 0. Die Menge der Elemente von S, die ganz M annihilieren bildet aber ein zweiseitiges Ideal in S:

uM = 0 ⇒ SuSM = SuM = 0

Da diese Menge aber von Null verschieden ist und das einzige von Null verschiedene zweiseitige Ideal von S der Ring S selbst ist, haben wir

SM = 0 ⇒ 1M = 0 ⇒ M = 0

□

Bemerkung 2.5.5 Angewandt auf A_{n}(K) bedeutet dieser Satz, daß alle nichttrivialen A_{n}(K) -Moduln unendliche Dimension als K-Vektorräume haben. Dies ist ein Spezialfall der sog. Bernstein-Ungleichung [Bjo 79]

2.6 Ore-Domains und Quotientenringe

In diesem Abschnitt geht es um die Erweiterung gewisser nichtkommutativer Ringe zu sogenannten Schiefkörpern; das sind Ringe, die allen Körperaxiomen bis auf die Kommutativität der Multiplikation, genügen.

Zur Erinnerung sei diese Erweiterung im kommutativen Fall kurz dargestellt: Sei A kommutativer Ring (mit Einheit) und B := {p/q | p, q ∈ A, q ≠ 0} die

Menge der Brüche über A. Durch Klassenbildung modulo der Äquivalenzrelation ∼, wobei p/q ∼ p/q :⇔ pq′ = p′q, wird B zu einem Körper Q(A), auf dem die Addition durch p/q + p′/q′ := (pq′ + p′q)/qq′ und die Multiplikation durch p/q · p′/q′ := pp′/qq′ erklärt ist. Schließlich ist (p/q)^{−1} = q/p, wenn p ≠ 0.

Man überzeugt sich leicht davon, daß diese Definitionen mit den Äquivalenzklassen verträglich sind. Da nun A in Q(A) durch p ↦ p/1 eingebettet werden kann, leistet Q(A) das Verlangte.

Eine ähnliche Konstruktion läßt sich auf den nichtkommutativen Ringen (mit Einheit) durchführen, die der folgenden Definition genügen:

Definition 2.6.1 Ein nullteilerfreier Ring A mit Einheit heißt Ore-Domain, wenn für je zwei von Null verschiedene Elemente a und b aus A sowohl Aa ∩ Ab, als auch aA ∩ bA beide ≠ 0 sind.

Es existieren dann von Null verschiedene r, s, t, u ∈ A, so daß ra = sb und at = bu ist.

Ist nun A Ore-Domain, so läßt sich A zu einem Schiefkörper D erweitern, dessen Elemente sich in der Form a^{−1}b und cd^{−1} für a, b, c, d ∈ A schreiben lassen. Wie sich zeigt, gibt es bis auf Isomorphie nur eine solche Erweiterung. Sie wird als voller Quotientenring von A bezeichnet.

Die Existenz des Quotientenringes D. Wie im kommutativen Fall ist D als Menge der Linksquotienten {q^{−1}p | p, q ∈ A, q ≠ 0} modulo einer gewissen Äquivalenzrelation gegeben.

Dazu müssen wir zunächst festlegen, wann zwei Linksquotienten a^{−1}b und α^{−1}β äquivalent sein sollen. Da A Ore-Domain ist, existieren von Null verschiedene t und q, so daß at = bq. Wenn nun a^{−1}b = α^{−1}β ist, so sollte αt = αa^{−1}at = αa^{−1}bq = αα^{−1}βq = βq sein. Dies legt nahe, die Äquivalenzrelation folgendermaßen zu definieren: a^{−1}b ∼ α^{−1}β genau dann, wenn t und q existieren, so daß at = bq und αt = βq.

Bemerkung 2.6.2 Sind a^{−1}b und α^{−1}β äquivalent, so gilt für alle u, v ∈ A mit au = bv auch immer αu = βv und nicht nur für die speziell gewählten Zeugen t, q für die Äquivalenz von a^{−1}b und α^{−1}β .

Ist nämlich xa = yα für gewisse x, y ∈ A \ 0, so ist wegen (xb − yβ)q = (xa − yα)t = 0 auch xb = yβ und wegen x(αu − βv) = y(au − bv) = 0 schließlich αu = βv.

Im folgenden bedeute a^{−1}b stets die ∼-Äquivalenzklasse, in der a^{−1}b liegt.

Die Addition auf D. Um a^{−1}b + c^{−1}d zu bestimmen, müssen wir wie im kommutativen Fall zunächst einen Hauptnenner finden. Dazu bestimmen wir von Null verschiedene r, s, so daß ra = sc =: e und erhalten a^{−1}b = a^{−1}r^{−1}rb = e^{−1}rb und c^{−1}d = e^{−1}sd. Also definieren wir a^{−1}b + c^{−1}d als e^{−1}(rb + sd) .

Die Multiplikation auf D. Das Produkt a^{−1}b·c^{−1}d läßt sich als Linksquotient schreiben, wenn es gelingt den Rechtsquotienten bc^{−1} als Linksquotienten darzustellen. Dazu bestimmen wir t, u ∈ A, so daß tb = uc und erhalten t^{−1}u = bc^{−1}, so daß es naheliegt, das Produkt von a^{−1}b und c^{−1}d als (ta)^{−1}(ud) zu definieren, wenn tb = uc gilt. Das Inverse von a^{−1}b bezüglich dieser Operation ist dann b^{−1}a , falls a ≠ 0.

Hieraus ergibt sich auch allgemein die Umwandlung von Rechts- in Linksquotienten und umgekehrt.

Es ist nun zu zeigen, daß diese Operationen wohldefiniert sind, d.h. daß das Ergebnis nicht von der Wahl der Vertreter der Operanden und auch nicht von der Wahl der o.g. Elemente r, s, t, u abhängt.

Exemplarisch sei hier nur die Wohldefiniertheit der Addition gezeigt: Sei also a^{−1}b = α^{−1}β vermöge r, s und c^{−1}d = γ^{−1}δ vermöge t, q. Sei weiter xa = yc =: z und ξα = ηγ =: ζ und schließlich qM = sN =: L. Dann ist z^{−1}(xb + yd) = ζ^{−1}(ξβ + ηδ) vermöge tM + rN und L.

Partielle Quotientenringe

Definition 2.6.3 Ist A Ore-Domain mit vollem Quotientenring D und T ⊂ A Unterring von A, der den folgenden Voraussetzungen genügt:

1. T ist Ore-Domain.

2. Ist a ≠ 0 ∈ A und t ≠ 0 ∈ T, so sind T a ∩ Ab und aT ∩ bA beide ≠ 0.

dann ist A_{T} := {q^{−1}p | q ∈ T, p ∈ A} = {pq^{−1} | q ∈ T, p ∈ A} Unterring von D und wird als partieller Quotientenring von A mit der Nennermenge T bezeichnet.

Man sieht sofort, daß 1 die Abgeschlossenheit von A_{T} unter der Addition und 2 die Abgeschlossenheit von A_{T} unter der Multiplikation garantiert. Daß die beiden Voraussetzungen auch wirklich notwendig sind, sieht man an den Beispielen a^{−1}+ b^{−1} und a · b^{−1}.

In den folgenden Abschnitten werden diese Definitionen auf Weyl-Algebren A_{n}(K) angewandt, wobei K ein kommutativer Körper der Charakteristik Null ist. Für A_{n}(K) schreiben wir im folgenden der besseren Lesbarkeit halber A_{n} .

Satz 2.6.4 A_{n} ist Ore-Domain.

Beweis. Seien a, b von Null verschiedene Elemente von A_{n} und a, b beide in T_{w} enthalten. Wäre A_{n}a ∩ A_{n}b = 0, so wäre A_{n}a ⊕ A_{n}b direkte Summe und somit dim_{K}(T_{ν+w}) ≥ dim_{K}(T_{ν}a ⊕ T_{ν}b) = 2 · dim_{K}(T_{ν}). Da dim_{K}(T_{ν}) Polynom vom Grade 2n ist, liefert dies für genügend großes ν einen Widerspruch. Der Beweis, daß aA_{n} + bA_{n} ≠ 0 verläuft analog.□

A_{n} hat also einen vollen Quotientenring, der mit D_{n} bezeichnet wird.

Satz 2.6.5 Ist T := K⟨x_{1}⋯x_{n}, ∂_{1}⋯∂_{r}⟩, der von den Variablen x_{1}⋯x_{n}, ∂_{1}⋯∂_{r} erzeugte Unterring von A_{n} , so existiert der partielle Quotientenring (A_{n})_{T}.

Beweis. Es sind die Voraussetzungen 1 und 2 aus Definition 2.6 nachzuprüfen. Der Beweis, daß T Ore-Domain ist, verläuft analog zum Beweis von Satz 2.6.4 und wird deshalb nicht ausgeführt. Es bleibt zu zeigen, daß zu von Null verschiedenen a ∈ A_{n} und t ∈ T sowohl T a ∩ A_{n}t als auch aT ∩ tA_{n} von Null verschieden sind. Ersteres zeigen wir durch Induktion über den Aufbau von a:

Ist a ∈ {x_{1} ⋯ x_{n}, ∂_{1} ⋯ ∂_{r}}, so ist a ∈ T und die Behauptung folgt aus Voraussetzung 1. Ist a = ∂_{j}, r < j ≤ n, so ist t′ := ∂_{j}t − t∂_{j} = d/dx_{j} t in T enthalten und wir finden f, g ∈ T \ 0, so daß ft′ = gt. Durch Zusammenfassen erhält man dann (f∂_{j} − g)t = ft∂_{j}.

Sei jetzt a = a_{1} + a_{2} und die Behauptung für a_{1} und a_{2} schon gezeigt. Es gibt also f, g ∈ T \ 0 mit fa_{1} ∈ A_{n}t und ga_{2} ∈ A_{n}t. Da T Ore-Domain ist, gibt es k, l ∈ T mit kf = lg =: m und es ist ma ∈ At.

Ist schließlich a = a_{1} · a_{2}, so wenden wir die Induktionshypothese auf a_{2} an und erhalten f ∈ T \0 mit fa_{2} ∈ A_{n}t. Weiter existiert g ∈ T \0, so daß ga_{1} ∈ A_{n}f und durch Rechtsmultiplikation mit a_{2} erhalten wir ga_{1}a_{2} ∈ A_{n}fa_{2} ⊂ A_{n}t. Analog zeigt man, daß aT ∩ tA_{n} ≠ 0 ist.□.

Dieser partielle Quotientenring (A_{n})_{T} wird auch D_{r}(x_{r+1}⋯x_{n})⟨∂_{r+1}⋯∂_{n}⟩ geschrieben.

Bemerkung 2.6.6 Analog kann man die Existenz des partiellen Quotientenringes von A_{n} mit der von den Variablen x_{1} ⋯x_{r} und ∂_{1} ⋯∂_{n} erzeugten Unteralgebra als Nennermenge zeigen. Diesen schreibt man auch

D_{r}(∂_{r+1}⋯∂_{n})⟨x_{r+1}⋯x_{n}⟩

Schließlich lassen auch Unteralgebren von A_{n} der Form K⟨x_{1}⋯x_{n}, ∂_{1}⋯∂_{r+1}⟩ partielle Quotientenringe zu, von denen für die späteren Anwendungen insbesondere der mit der Nennermenge K⟨x_{1}⋯x_{n}, ∂_{1}⋯∂_{r}⟩ von Bedeutung ist.

2.7 Zwei Theoreme über die Weyl-Algebra

Theorem 2.7.1 A_{n}(K) ist noethersch.

Beweis. Mit Induktion über n können wir annehmen, daß A_{n−1} noethersch ist. Aufgrund des Hilbertschen Basissatzes ist dann auch R := A_{n−1}[x_{n}] noethersch. Es bleibt zu zeigen, daß auch R⟨∂_{n}⟩ = A_{n} noethersch ist.

Zu f ∈ R⟨∂_{n}⟩ vom ∂_{n} -Grad l definieren wir den Leitkoeffizienten lc(f) als das (eindeutig bestimmte) g ∈ R, so daß f − g∂_{n}^{l} echt kleineren ∂_{n} -Grad als f hat. Es ist offensichtlich, daß für beliebige a, b ∈ A_{n}

lc(ab) = lc(ba) = lc(lc(a) · lc(b))

gilt. Weil das so ist, können wir den Beweis des Hilbertschen Basissatzes auch für diese nichtkommutative Situation wörtlich übernehmen. ^{4}

Theorem 2.7.2 Ist I von Null verschiedenes A_{1} -Linksideal, so hat der Modul A_{1}/I endliche Länge.

4Diesen Beweis findet man etwa in [Lan 68]

Beweis. Wir betrachten eine totale Ordnung ≺ der Monome (ohne Koeffizienten) von A_{1} mit den Eigenschaften

1. ≺ ist vom Typ ω

2. Für a, b, c ∈ A_{1} gilt lt(a) ≺ lt(b) ⇒ lt(ac) ≺ lt(bc)

3. Für a, b ∈ A_{1} gilt lt(ab) = lt(ba) = lt(lt(a) · lt(b))

Der Ausdruck lt(f) bezeichnet jeweils das bzgl. ≺ größte Monom in der Normaldarstellung von f. Eine Ordnung mit diesen Eigenschaften ist zum Beispiel die lexikografische Ordnung der Monome mit dem summarischen Grad als Grobkomponente (Das stellt Ordnungstyp ω sicher) , ∂- und x-Grad als Feinkomponenten. (Dadurch bekommen wir die Verträglichkeit mit der Multiplikation.)

Wir können jetzt zu jedem Element von A_{1} den x- und den ∂-Grad des führenden Terms lt(f) betrachten. Diese bezeichnen wir mit degx(f) bzw. deg∂(f).

Einem Ideal I ∈ A_{1} ordnen wir dann die beiden Zahlen

δ(I) := min{deg∂(f)|f ∈ I}
ξ(I) := min{degx(f)|f ∈ I}

zu.

Indem wir den Satz 2.5.4 über einfache Algebren verwenden, können wir den folgenden Hilfssatz zeigen:

Lemma 2.7.3 Sind I, J zwei A_{1} -Ideale und ist I ⊂ J, δ(I) = δ(J), sowie ξ(I) = ξ(J), dann ist I = J.

Beweis. Sind f ∈ I und g ∈ I so gewählt, daß sie die Minima ξ(I) bzw. δ(I) annehmen, d.h.

degx(f) = ξ(I)
deg∂(g) = δ(I)

so lassen sich alle Polynome von J, deren x-Grad den von g oder deren ∂-Grad den von f übersteigt, modulo A_{1}f +A_{1}g auf ein Polynom aus J, für das dies nicht gilt, reduzieren. (Wir beachten, daß jedes Polynom aus J größeren oder gleichen x-Grad wie f, bzw. größeren oder gleichen ∂-Grad wie g hat.) Zu jedem Element h des Moduls J/I können wir also einen Repräsentanten h ∈ J finden, dessen führender Term lt(h) = x^{a}∂^{b} den Bedingungen

ξ(I) ≤ a < degx(g)
δ(I) ≤ b < deg∂(f)

genügt. Es gibt aber nur endlich viele solche Monome und wegen des Typs ω auch nur endlich viele Monome unterhalb eines Monoms, so daß J/I als K-Vektorraum endliche Dimension hat. Nach Satz 2.5.4 ist dann I = J.

Fortsetzung des Beweises von 2.7.2 Ist also I^{⊂}_{≠} J ⊂ A_{1}, so muß eine der beiden Kenngrößen echt abnehmen, d.h. ξ(J) < ξ(I) oder δ(J) < δ(I). Die Länge von A_{1}/I ist also durch ξ(I) + δ(I) beschränkt.

Bemerkung 2.7.4 Wegen

I = A_{1}f + A_{1}g

(f, g ∈ I wie oben) liefert der eben gezeigte Hilfssatz auch einen kurzen Beweis des Staffordschen Theorems für A_{1} . Da f, g mit Hilfe von Gröbner-Basen [Gal 83] effektiv aus I bestimmt werden können, ist dieser Beweis sogar konstruktiv.

Bemerkung 2.7.5 Die Voraussetzung der Kommutativität von K ist für diesen Beweis zwingend notwendig. Stafford [Sta 78] gibt einen A_{1}(D_{1}) Faktormodul an, der unendliche Länge hat.

3 Der Beweis des Theorems von Stafford

Wir haben jetzt genügend Grundlagen gesammelt, um den Beweis des Staffordschen Theorems, also der 2-Erzeugtheit der Ideale der Weyl-Algebra, führen zu können. Mehr aus didaktischen Gründen wird dieser Satz zunächst noch einmal für A_{1}(K) gezeigt. Dieser Beweis verläuft dem für A_{n} ähnlich, kommt aber ohne die etwas verwirrenden partiellen Quotientenringe aus, so daß die eigentliche Beweisidee deutlicher in Erscheinung tritt.

3.1 Staffords Theorem für A_{1}(K)

In diesem Abschnitt ist K kommutativer Körper der Charakteristik Null und A_{1}(K) = K⟨x, ∂⟩, die Weyl-Algebra über K in den beiden Variablen x und ∂.

Es wird gezeigt, daß jedes A_{1}(K) -Linksideal von zwei Elementen erzeugt werden kann. Da A_{1}(K) (im folgenden kurz als A_{1} bezeichnet) noethersch ist, genügt es zu zeigen, daß jedes Ideal (”Ideal“ bedeutet im folgenden stets ”Linksideal“) , welches von drei Elementen erzeugt wird, auch von zweien erzeugt werden kann. Ist nämlich

I = A_{1}a_{1} + ⋯ + A_{1}a_{m}

und

A_{1}a_{1} + A_{1}a_{2} + A_{1}a_{3} = A_{1}b_{1} + A_{1}b_{2}

so ist

I = A_{1}b_{1} + A_{1}b_{2} + A_{1}a_{4} + ⋯ + A_{1}a_{m}

Auf diese Weise läßt sich die Zahl der Generatoren schrittweise bis auf zwei erniedrigen. Die Behauptung folgt also aus

Lemma 3.1.1 Sind a, b, c von Null verschiedene Elemente von A_{1} , so existieren d, e aus A_{1} ,so daß

c ∈ A_{1}(a + dc) + A_{1}(b + ec)

Es ist nämlich dann

A_{1}a + A_{1}b + A_{1}c = A_{1}(a + dc) + A_{1}(b + ec)

Beweis. Der Beweis stützt sich auf folgendes Lemma, dessen Beweis weiter unten ausgeführt wird.

Lemma 3.1.2 Ist I ein A_{1} -Linksideal und v ∈ A_{1} (v ≠ 0), dann gibt es f aus A_{1} , so daß gilt: I + A_{1}vf = A_{1}.

Beweis von Lemma 3.1.1. Da A_{1} Ore-Domain ist, existieren q, h_{1}, h_{2} sämtlich von Null verschieden mit qc = h_{1}a + h_{2}b. Ebenso existieren von Null verschiedene g_{1} und g_{2}, so daß gilt: h_{1}g_{1} + h_{2}g_{2} = 0. Außerdem gibt es s, t ≠ 0 mit sqc = tb. Wenden wir nun das obige Lemma auf I := A_{1}q und v := tg_{2} an, so erhalten wir f mit

A_{1}q + A_{1}tg_{2}f = A_{1}

und wir können zeigen, daß d := g_{1}f und e := g_{2}f das Verlangte leisten. Dazu bemerken wir zunächst, daß

J := A_{1}q + A_{1}(sq + tg_{2}f)

gleich A_{1} ist, da sowohl q, als auch tg_{2}f in J enthalten sind. Durch Rechtsmultiplikation mit c erhalten wir daraus:

c ∈ A_{1}qc + A_{1}(sqc + tg_{2}fc)

Wenn wir nun zeigen können, daß sowohl qc, als auch sqc + tg_{2}fc in

L := A_{1}(a + dc) + A_{1}(b + ec)

liegen, so ist die Behauptung bewiesen. Nun ist

qc = h_{1}a + h_{2}b = h_{1}a + h_{2}b + (h_{1}g_{1} + h_{2}g_{2})fc

weil h_{1}g_{1} + h_{2}g_{2} Null ist. Umgruppieren liefert:

qc = h_{1}(a + g_{1}fc) + h_{2}(b + g_{2}fc) ∈ L

Andererseits ist

sqc + tg_{2}fc = tb + tg_{2}fc = t(b + g_{2}fc) ∈ L

.□

Beweis von Lemma 3.1.2. Wir beweisen die Behauptung durch Induktion über die Länge von A/I (Nach Lemma 2.7.2 ist diese endlich.). Wir können also annehmen, daß zu jedem v′ ≠ 0 in A_{1} und zu jedem Ideal I′ so daß die Länge von A/I′ echt kleiner als die von A/I ist, ein f existiert, so daß I′ + A_{1}v′f = A_{1}.

Da A_{1} einfach ist, gibt es f_{0} mit vf_{0} ∉ I. Es liegt nun nahe, die Induktionshypothese auf I + A_{1}vf_{0} anzuwenden; das genügt jedoch nicht. Um die Hypothese so ”ergiebig“ wie möglich zu verwenden, verschaffen wir uns I′, so daß

I ⊂ I′ ⊂ I + A_{1}vf_{0}

und zusätzlich I′/I irreduzibel ist. (Ist (I + A_{1}vf_{0})/I nicht irreduzibel, so findet man ein Ideal zwischen I und I +A_{1}vf_{0} usw. Wegen der endlichen Länge von A/I bricht dieser Prozess irgendwann ab und man erhält I′.) Weiterhin erhalten wir aufgrund der Ore-Eigenschaft von A_{1} ein t ∈ A_{1}, so daß tvf_{0} ∈ I. Nun wenden wir die Induktionshypothese auf I′ und tv an und erhalten f_{1} mit

I′ + A_{1}tvf_{1} = A_{1}

Ist sogar

I + A_{1}vf_{1} = A_{1}

so setzen wir f := f_{1} und es ist alles gezeigt. Ist dagegen I + A_{1}vf_{1} ≠ A_{1}, so können wir zeigen, daß f := f_{0} + f_{1} das Verlangte leistet:

Wir setzen

I_{1} := I + A_{1}v(f_{0} + f_{1})

Da tvf_{0} ∈ I und tv(f_{0} + f_{1}) ∈ I_{1}, ist tvf_{1} ∈ I_{1}. Wenn wir zeigen können, daß auch vf_{1} in I_{1} liegt, so ist alles bewiesen, da dann auch vf_{0} ∈ I_{1} und somit

A_{1} = I′ + A_{1}tvf_{1} ⊂ I + A_{1}vf_{0} + A_{1}tvf_{1} ⊂ I_{1}

Um nun zu zeigen, daß vf_{1} ∈ A_{1} setzen wir J := A_{1}tvf_{1} und betrachten

A_{1}/(I+J) = (I′+J)/(I+J) = (I′+I+J)/(I+J) ≃ I′/I′∩(I+J) = I′/(I+(I′∩J))

Da nun I′/I irreduzibel ist, ist

I′/(I + (I′ ∩ J)) = A_{1}/(I + A_{1}tvf_{1})

irreduzibel oder Null.

Ein Oberideal von I + A_{1}tvf_{1} kann also nur A_{1} oder I + A_{1}tvf_{1} selbst sein. I + A_{1}vf_{1} ist ein solches Oberideal und da – wie oben vorausgesetzt – von A_{1} verschieden, gleich I + A_{1}tvf_{1}. Somit ist

vf_{1} ∈ I + A_{1}tvf_{1} ⊂ I_{1}

□

3.2 Staffords Theorem für A_{n}(K)

Gegenstand der folgenden Abschnitte ist der Beweis von Staffords Theorem für A_{n}(K) , d. h. also der Beweis, daß jedes Linksideal von A_{n}(K) von zwei Elementen erzeugt werden kann.

Da A_{n}(K) – im folgenden kurz als A_{n} bezeichnet – noethersch ist, genügt es, die Behauptung für solche Ideale zu zeigen, die von drei Elementen erzeugt werden können. Das Theorem von Stafford folgt also aus folgendem

Theorem 3.2.1 Sind a, b, c von Null verschiedene Elemente in A_{n} , dann existieren d, e ∈ A_{n}, so daß

c ∈ A_{n}(a + dc) + A_{n}(b + ec)  (1)

Zur Strategie des Beweises Der entscheidende Punkt im Beweis von Staffords Theorem für A_{1} ist die Tatsache, daß für alle nichttrivialen A_{1} -Linksideale I der Faktormodul A_{1}/I von endlicher Länge ist, während A_{1} selbst unendliche Länge hat.

Diese Eigenschaft von A_{1} bezeichnet Stafford als eingeschränkte Minimaleigenschaft. Sind mehr als eine x- Variable vorhanden, so geht diese Eigenschaft verloren, wie das Beispiel

A_{n}x_{1} ^{⊂}_{≠} A_{n}x_{1} + A_{n}x_{2}^{j} ^{⊂}_{≠} A_{n}x_{1} + A_{n}x_{2}^{j−1} ^{⊂}_{≠} ⋯ ^{⊂}_{≠} A_{n}

zeigt. Der Beweis aus Abschnitt 3.1 für A_{1}(K) läßt sich deshalb nicht ohne weiteres auf A_{n}(K) ausdehnen.

Die Idee ist, Theorem 3.2.1 statt für A_{n} für gewisse partielle Quotientenringe von A_{n} , die die eingeschränkte Minimaleigenschaft haben, zu zeigen. Nach Multiplikation mit dem ”Hauptnenner“ erhält man dann auf der linken Seite von Gleichung (1) den Term qc anstatt c für ein von Null verschiedenes q aus der Nennermenge des gewählten partiellen Quotientenringes. Durch ein geeignetes Induktionsverfahren ist es nun möglich, diese Nennermenge schließlich auf K zu reduzieren, was die Behauptung liefert.

Der Beweis von Theorem 3.2.1 Im ersten Schritt werden aus dem Faktor q die ∂-Variablen eliminiert:

Lemma 3.2.2 Ist 0 ≤ r ≤ n und sind a, b, c von Null verschiedene Elemente von A_{n} , so existieren d_{r}, e_{r} ∈ A_{n} und q_{r} ∈ A_{r}[x_{r+1}⋯x_{n}], so daß

q_{r}c ∈ A_{n}(a + d_{r}c) + A_{n}(b + e_{r}c)

Bemerkung 3.2.3 q_{r} enthält also neben den x -Variablen nur die ∂ -Variablen ∂_{1} ⋯∂_{r} , bzw. für r = 0 überhaupt keine ∂ -Variablen.

Beweis. Für r = n folgt Lemma 3.2.2 aus der Ore-Eigenschaft von A_{n} : Es gibt von Null verschiedene s, t ∈ A_{n}, so daß sc = ta; q_{n} := s, d_{n} = e_{n} := 0 leisten also das Verlangte.

Für r < n beweist man Lemma 3.2.2 durch Induktion. Sei das Lemma also für r + 1 bereits gezeigt und seien q ∈ A_{r+1}[x_{r+2}⋯x_{n}]; d_{r+1}, e_{r+1} ∈ A_{n} mit

qc ∈ A_{n}(a + d_{r+1}c) + A_{n}(b + e_{r+1}c)

die durch das Lemma gelieferten Elemente. (Wir schreiben der Kürze halber q statt q_{r+1}) Wir setzen a_{1} := a + d_{r+1}c und b_{1} := b + e_{r+1}c. Gelingt es nun q_{r}, d_{r}, e_{r} zu finden, so daß

q_{r}c ∈ A_{n}(a_{1} + d_{r}c) + A_{n}(b_{1} + e_{r}c)

so haben wir auch

q_{r}c ∈ A_{n}(a + (d_{r} + d_{r+1})c) + A_{n}(b + (e_{r} + e_{r+1})c)

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir also annehmen, daß d_{r+1} und e_{r+1} beide Null sind.

Es gibt also h_{1} und h_{2} in A_{n} , so daß qc = h_{1}a + h_{2}b ist, und da A_{n} Ore-Domain ist, können wir h_{1} und h_{2} beide von Null verschieden wählen.(Ist nämlich sa + tb = 0 für von Null verschiedene s, t, so liefern mit h_{1}, h_{2} auch h_{1} + λs und h + λt, (λ ∈ K) Linearkombinationen von a und b zu q_{r+1}c.) Ebenso finden wir von Null verschiedene g_{1}, g_{2} ∈ A_{n}, so daß h_{1}g_{1} + h_{2}g_{2} = 0. Schließlich finden wir s, t ∈ A_{n} \ 0, so daß sqc = tb.

An dieser Stelle verwenden wir ein Lemma, dessen Beweis später ausgeführt wird:

Lemma 3.2.4 Sind u, v ≠ 0 Elemente von A_{n} und q ≠ 0 ∈ A_{r+1}[x_{r+2}⋯x_{n}], so existieren f ∈ A_{n} und Q ∈ A_{r}[x_{r+1}⋯x_{n}], so daß gilt:

Q ∈ A_{n}q + A_{n}(u + vf)  (2)

(Q enthält also eine ∂ -Variable weniger als q)

Fortsetzung des Beweises. Wir wenden das Lemma auf q, u := sq und v := tg_{2} an und erhalten Q, f,so daß Q ∈ A_{n}q + A_{n}(sq + tg_{2}f). Wir multiplizieren von rechts mit c, so daß

Qc ∈ A_{n}qc + A_{n}(sqc + tg_{2}fc)

Wie in Lemma 3.1.2 behaupten wir jetzt, daß q_{r} := Q, d_{r} := g_{1}f und e_{r} := g_{2}f das Gewünschte leisten. Betrachten wir nämlich das Linksideal

L := A_{n}(a + g_{1}fc) + A_{n}(b + g_{2}fc)

so ist wegen

qc = h_{1}a + h_{2}b = h_{1}a + h_{2}b + (h_{1}g_{1} + h_{2}g_{2})fc = h_{1}(a + g_{1}fc) + h_{2}(b + g_{2}fc)

zunächst qc ∈ L. Andererseits ist

sqc + tg_{2}fc = tb + tg_{2}fc = t(b + g_{2}fc) ∈ L

Also ist

A_{n}qc + A_{n}(sqc + tg_{2}fc) ⊂ L

und somit q_{r}c ∈ L.□

Beweis von Lemma 3.2.4. An dieser Stelle kommt der eingangs erwähnte partielle Quotientenring ins Spiel: Wir bezeichnen mit R den partiellen Quotientenring von A_{n} mit der Nennermenge A_{r}[x_{r+1}⋯x_{n}], also der Menge, in der das Element Q aus Lemma 3.2.4 liegt. Die Elemente von R lassen sich in der Form a^{−1}b , mit a ∈ A_{r}[x_{r+1}⋯x_{n}] und b ∈ A_{n} schreiben.

Das Lemma 3.2.4 ist dann äquivalent zu folgendem Lemma 3.2.5 Sind q ≠ 0 ∈ A_{r+1}[x_{r+2}⋯x_{n}] und u, v (v ≠ 0) Elemente von A_{n} , so existiert f ∈ A_{n}, so daß gilt

R = Rq + R(u + vf)  (3)

Multiplizieren wir nämlich die Gleichung 2 von links mit Q^{−1}, so erhalten wir 1 ∈ Rq + R(u + vf), was gleichbedeutend mit der Aussage von Lemma 3.2.5 ist. Gilt andererseits die Aussage von Lemma 3.2.5, so findet man A, B ∈ R mit 1 = Aq + B(u + vf); multipliziert man dies mit einem gemeinsamen Nenner Q von A und B, so erhält man Q ∈ A_{n}q + A_{n}(u + vf) und somit Lemma 3.2.4.

Beweis von Lemma 3.2.5. Leider erfüllt wegen der ”freien“ Variablen x_{r+1}⋯x_{n} auch R die eingeschränkte Minimalbedingung nicht; wegen der speziellen Struktur von q können wir uns jedoch mit einem Trick auf einen Unterring von R beschränken, der diese Bedingung erfüllt. Dieser Unterring ist

S := D_{r}(x_{r+1}⋯x_{n})⟨∂_{r+1}⟩

also der partielle Quotientenring von A_{r+1}[x_{r+2}⋯x_{n}] mit der Nennermenge A_{r}[x_{r+1}⋯x_{n}]. Bezeichnen wir mit D den (vollen) Quotientenring von A_{r}[x_{r+2}⋯x_{n}] (x_{r+1} fehlt also), so können wir S auffassen als D(x_{r+1})⟨∂_{r+1}⟩, also als den partiellen Quotientenring der Weyl-Algebra D⟨x_{r+1}, ∂_{r+1}⟩ mit der Nennermenge D[x_{r+1}].

Im folgenden bezeichne

S^{(m+1)} := Sε_{0} ⊕ Sε_{1} ⊕ ⋯ ⊕ Sε_{m}

den freien S-Modul vom Rang m + 1 mit den S-linear unabhängigen Erzeugern ε_{0}⋯ε_{m}. Außerdem bedeute S^{(m+1)}ρ für ρ ≠ 0 ∈ S den von den Elementen ρε_{0}⋯ρε_{m} erzeugten Untermodul von S^{(m+1)}.

Bemerkung 3.2.6 Die Elemente von S^{(m+1)} lassen sich eindeutig als m + 1-Tupel mit Einträgen aus S schreiben ( (s_{0}, s_{1}, …, s_{m}) ↦ s_{0}ε_{0} + ⋯ + s_{m}ε_{m}). Die Elemente von S^{(m+1)}ρ sind dann genau die m + 1-Tupel, deren Komponenten ρ als Rechtsfaktor haben.

Das Resultat über S, welches wir im folgenden erst verwenden und dann im nächsten Abschnitt (3.3) beweisen werden, ist eine verallgemeinerte Version von Lemma 3.1.2:

Lemma 3.2.7 Seien δ_{1}⋯δ_{m} K-linear unabhängige Elemente von K⟨x_{r+1}, ∂_{r+1}⟩ und ρ ≠ 0 ∈ A_{r+1}[x_{r+2}⋯x_{n}] ein Element der Zählermenge von S.

Dann gibt es f ∈ K⟨x_{r+1}, ∂_{r+1}⟩, so daß

S^{(m+1)} = S^{(m+1)}ρ + S(ε_{0} + δ_{1}fε_{1} + ⋯ + δ_{m}fε_{m})

.

Fortsetzung des Beweises von Lemma 3.2.5. Störend an Gleichung (3) ist die Tatsache, daß v nicht unbedingt aus S sein muß. (u macht keine Probleme, Lemma 3.2.5 würde schon aus einer Version wie in Abschnitt 3.1 mit u = 0 folgen.) Also zerlegen wir v in eine Summe: v = ∑_{j=1}^{m} δ_{j}G_{j}, wobei die δ_{j} K-linear unabhängige Elemente von K⟨x_{r+1}, ∂_{r+1}⟩ ⊂ S und die G_{j} Elemente von

A(r + 1) := K⟨x_{1}⋯x_{r}, x_{r+2}⋯x_{n}, ∂_{1}⋯∂_{r}, ∂_{r+2}⋯∂_{n}⟩

(x_{r+1} und ∂_{r+1} fehlen) sind. Dies ist möglich, indem man entweder die Normaldarstellung von v gemäß Abschnitt 2.4 oder (homologischer) die Tatsache

A_{n} = A(r + 1) ⊗_{K} K⟨x_{r+1}, ∂_{r+1}⟩

verwendet.

Nun ist A(r + 1) isomorph zu A_{n−1} und deshalb wie letzterer Ring einfach; das von G_{1} ≠ 0 erzeugte zweiseitige Ideal ist also gleich A(r + 1).

Deshalb gibt es gemäß Abschnitt 2.5 Elemente Y_{ν}, H_{ν} von A(r + 1), so daß

∑_{ν=1}^{t} Y_{ν}G_{1}H_{ν} = 1

Es gilt dann

A(r + 1) = ∑_{ν=1}^{t} A(r + 1)G_{1}H_{ν} = ∑_{ν=1}^{t} ∑_{j=1}^{m} A(r + 1)G_{j}H_{ν}

(in der letzten Summe wurden ja nur Terme hinzugefügt). Und schließlich, da A(r + 1) Unterring von R ist, erhalten wir

R = ∑_{ν=1}^{t} ∑_{j=1}^{m} RG_{j}H_{ν}

Unter Verwendung von Lemma 3.2.7 zeigen wir jetzt folgenden Hilfssatz, der uns die Konstruktion des verlangten Elements f ermöglicht:

Lemma 3.2.8 Sind δ_{1}⋯δ_{m} K-linear unabhängige Elemente von K⟨x_{r+1}, ∂_{r+1}⟩ und B_{1}⋯B_{m} Elemente von A(r + 1) und ist weiterhin u ∈ A_{n} das Element aus Lemma 3.2.5, so existiert f ∈ K⟨x_{r+1}, ∂_{r+1}⟩ derart, daß

Rq + Ru + RB_{1} + ⋯ + RB_{m} = Rq + R(u + δ_{1}fB_{1} + ⋯ + δ_{m}fB_{m})

Beweis. Wir beachten zunächst, daß die Inklusion ”⊂“ die eigentlich ”schwierige“ ist, da ja jede beliebige R-Linearkombination der B_{i} und q als Linearkombination der zwei Elemente q und ∑ δ_{i}fB_{i} zu schreiben ist, während die Inklusion ”⊃“ auf der Hand liegt.

Wenden wir uns also ersterer Inklusion zu: Aus dem in Abschnitt 2.6 Gezeigten ergibt sich die Existenz von Elementen ρ_{i} ∈ A_{r+1}[x_{r+2}⋯x_{n}] (i = 0 … m, so daß ρ_{0}u ∈ A_{n}q und für i = 1⋯m: ρ_{i}B_{i} ∈ A_{n}q.

Da A_{r+1}[x_{r+2}⋯x_{n}] Ore-Domain ist, gibt es ein gemeinsames Linksvielfaches der ρ_{i}, es existiert also ρ ∈ A_{r+1}[x_{r+2}⋯x_{n}], so daß ρB_{i} ∈ A_{n}q für i = 1⋯m und zusätzlich ρu ∈ A_{n}q.

Jetzt wenden wir Lemma 3.2.7 auf ρ und die δ_{i} an und erhalten f ∈ K⟨x_{r+1}, ∂_{r+1}⟩, so daß

S^{(m+1)} = S^{(m+1)}ρ + S(ε_{0} + δ_{1}fε_{1} + ⋯ + δ_{m}fε_{m})

wird. Da S Unterring von R ist, gilt dann ebenso

R^{(m+1)} = R^{(m+1)}ρ + R(ε_{0} + δ_{1}fε_{1} + ⋯ + δ_{m}fε_{m})  (4)

Wir betrachten die R-lineare Abbildung

π : R^{(m+1)} → R

erklärt durch

π(ε_{0}) := u

und

π(ε_{i}) := B_{i}

für i = 1⋯m.

Das Bild von R^{(m+1)} unter π ist dann

Ru + RB_{1} + ⋯ + RB_{m}

und

π(R^{(m+1)}ρ) = Rρu + RρB_{1} + ⋯ + RρB_{m} ⊂ Rq

da A_{n}ρu ⊂ A_{n}q und A_{n}ρB_{i} ⊂ A_{n}q wegen der speziellen Wahl von ρ, während das Bild von

R(ε_{0} + δ_{1}fε_{1} + ⋯ + δ_{m}fε_{m})

sich zu

R(u + δ_{1}fB_{1} + ⋯ + δ_{m}fB_{m})

ergibt.

Wenden wir also π auf beide Seiten der Gleichung 4 an, so erhalten wir

Ru + RB_{1} + ⋯ + RB_{m} ⊂ Rq + R(u + δ_{1}fB_{1} + ⋯ + δ_{m}fB_{m})

Da Rq in der rechten Seite enthalten ist, können wir es unter Erhaltung der Inklusion auch auf der linken Seite dazuaddieren:

Rq + Ru + RB_{1} + ⋯ + RB_{m} ⊂ Rq + R(u + δ_{1}fB_{1} + ⋯ + δ_{m}fB_{m})

Da die umgekehrte Inklusion trivialerweise gilt, ergibt dies die Aussage des Hilfssatzes.

Fortsetzung des Beweises von Lemma 3.2.5. Zur Erinnerung nochmals die Behauptung und das bisher Geleistete: Zu den Elementen u, v, q aus Lemma 3.2.5 suchen wir f ∈ A_{n}, so daß Rq + R(u + vf) = R wird. Dazu haben wir v in eine Summe v = ∑_{j=1}^{m} δ_{j}G_{j} mit δ_{i} ∈ K⟨x_{r+1}, ∂_{r+1}⟩ und G_{i} ∈ A(r + 1) zerlegt. Ferner haben wir – die Einfachheit von A(r + 1) ausnützend – Elemente H_{ν} mit

R = ∑_{ν=1}^{t} ∑_{j=1}^{m} RG_{j}H_{ν}

bestimmt.

Wenden wir den eben gezeigten Hilfssatz auf δ_{i} und B_{i} := G_{i}H_{1} (i = 1⋯m), sowie u und q an, dann erhalten wir f_{1} ∈ K⟨x_{r+1}, ∂_{r+1}⟩, so daß gilt:

Rq + Ru + RG_{1}H_{1} + ⋯ + RG_{m}H_{1} = Rq + R(u + δ_{1}f_{1}G_{1}H_{1} + ⋯ + δ_{m}f_{1}G_{m}H_{1})

Wir bemerken, daß H_{1} und die G_{i} als Elemente von A(r+1) mit f_{1} ∈ K⟨x_{r+1}, ∂_{r+1}⟩ kommutieren (weil eben x_{r+1} und ∂_{r+1} in A(r +1) nicht vorkommen) und können deshalb schreiben:

Rq + Ru + ∑_{i} RG_{i}H_{1} = Rq + R(u + ∑_{i} δ_{i}G_{i}H_{1}f_{1}) = Rq + R(u + vf_{1}H_{1})

gemäß der Zerlegung von v. Nun wenden wir Lemma 3.2.8 erneut an auf B_{i} := G_{i}H_{2} und u ersetzt durch u + vf_{1}H_{1} (q und die δ_{i} unverändert).

So erhalten wir f_{2} mit

Rq + R(u + vf_{1}H_{1}) + ∑_{i} RG_{i}H_{2} = Rq + R(u + vf_{1}H_{1} + ∑_{i} δ_{i}f_{2}G_{i}H_{2}) =

Rq + R(u + vf_{1}H_{1} + vf_{2}H_{2})

da natürlich auch f_{2} mit den Elementen von A(r + 1) kommutiert.

Setzen wir die vorher gewonnene Gleichung in diese ein, so erhalten wir:

Rq + Ru + ∑_{i} RG_{i}H_{1} + ∑_{i} RG_{i}H_{2} = Rq + R(u + vf_{1}H_{1} + vf_{2}H_{2})

An dieser Stelle ist das Lemma auf B_{i} := G_{i}H_{3} und u+vf_{1}H_{1}+vf_{2}H_{2} (anstatt u) anzuwenden, was f_{3} liefert und nach analogen Umformungen und Einsetzungen auf

Rq + Ru + ∑_{i} RG_{i}H_{1} + ∑_{i} RG_{i}H_{2} + ∑_{i} RG_{i}H_{3} =

Rq + R(u + vf_{1}H_{1} + vf_{2}H_{2} + vf_{3}H_{3})

führt. So fährt man fort und hat nach t Anwendungen von Lemma 3.2.8 Elemente f_{1}⋯f_{t} gefunden mit

Rq + Ru + ∑_{ν=1}^{t} ∑_{i=1}^{m} RG_{i}H_{ν} = Rq + R(u + vf_{1}H_{1} + ⋯ + vf_{t}H_{t})

Da aber (nach Konstruktion der H_{ν})

∑ ∑ RG_{i}H_{ν} = R

ist, liefert dies die Behauptung mit f := f_{1}H_{1} + ⋯ + f_{t}H_{t}. □

Die Elimination der x-Variablen

In den vorhergehenden Abschnitten haben wir gezeigt, daß zu a, b, c ∈ A_{n} Elemente d, e ∈ A_{n} und Q ∈ K[x_{1}⋯x_{n}] existieren, so daß

Qc ∈ A_{n}(a + dc) + A_{n}(b + ec)

ist. Analog zur Vorgehensweise bei den ∂ -Variablen wollen wir jetzt Schritt für Schritt die Anzahl der x-Variablen in Q reduzieren:

Lemma 3.2.9 Ist 0 ≤ r ≤ n, so gibt es Elemente d_{r}, e_{r} ∈ A_{n} und Q_{r} ∈ K[x_{1} ⋯ x_{r}] (bzw. Q_{0} ∈ K), so daß gilt

Q_{r}c ∈ A_{n}(a + d_{r}c) + A_{n}(b + e_{r}c)

Für r = n wurde das Lemma bereits gezeigt und der Induktionsschritt r + 1 → r verläuft ganz genau wie Lemma 3.2.2, indem wir den folgenden Hilfssatz verwenden:

Lemma 3.2.10 Sind u, v Elemente von A_{n} und ist q ≠ 0 ∈ K[x_{1}⋯x_{r+1}], so existieren Q ≠ 0 ∈ K[x_{1}⋯x_{r}] und f ∈ A_{n} mit

Q ∈ A_{n}q + A_{n}(u + vf)

Indem wir den partiellen Quotientenring R_{1} von A_{n} mit der Nennermenge K[x_{1}⋯x_{r}] einführen, können wir die Aussage dieses Lemmas umformulieren zu

Lemma 3.2.11 Sind u, v Elemente von A_{n} und ist q ≠ 0 ∈ K[x_{1}⋯x_{r+1}], so existiert f ∈ A_{n} mit

R_{1} = R_{1}q + R_{1}(u + vf)

Beweis. Wir führen den Unterring

S_{1} := K(x_{1}⋯x_{r})⟨x_{r+1}, ∂_{r+1}⟩

von R_{1} ein. S_{1} ist die Weyl-Algebra in x_{r+1} und ∂_{r+1} über dem kommutativen Körper K(x_{1}⋯x_{r}) (i.Z. S_{1} = A_{1}(K) mit K = K(x_{1}⋯x_{r})).

Um jetzt den Beweis von Lemma 3.2.5 auf diese Situation anzuwenden, müssen wir uns überlegen, warum wir auch hier ein ρ ≠ 0 aus der Zählermenge von S_{1} finden können, so daß ρu und ρB_{i} sämtlich in A_{n}q liegen, wenn die B_{i} Elemente von A(r + 1) (also der Weyl-Algebra über K in den Variablen x_{1}⋯x_{r}, x_{r+2}⋯x_{n} und ∂_{1}⋯∂_{r}, ∂_{r+2}⋯∂_{n}) sind. Das aber folgt wie auch in Lemma 3.2.5 aus dem in Abschnitt 2.6 über die Existenz partieller Quotientenringe Gesagten.

Den Rest des Beweises können wir einfach kopieren und da wir Lemma 3.2.7 auch schon für S ersetzt durch S_{1} bewiesen haben , folgt damit die Behauptung. □ Da Lemma 3.2.7 im nächsten Abschnitt auch für S ersetzt durch S_{1} bewiesen wird, können wir den Rest des Beweises einfach kopieren, und die Behauptung folgt. □

3.3 Der Ring S

Die folgenden Resultate wollen wir wie angekündigt nicht nur für den Ring S aus Abschnitt 3.2, sondern auch für Weyl-Algebren A_{1}(K) zeigen, wobei K ein kommutativer Körper der Charakteristik Null ist, welcher K als Unterkörper enthält.

Der besseren Lesbarkeit halber wollen wir außerdem in diesem Abschnitt ”x“anstatt ”x_{r+1}“ und ”∂“ anstatt ”∂_{r+1}“ schreiben.

Im folgenden bedeutet also S entweder den Ring D(x)⟨∂⟩ aus Abschnitt 3.2 oder die Weyl-Algebra A_{1}(K) = K⟨x, ∂⟩. Wir bemerken, daß in jedem Fall die Weyl-Algebra K⟨x, ∂⟩ in S enthalten ist und daß S einfach ist. (Für S = D(x)⟨∂⟩ läßt sich das ganz analog wie bei der Weyl-Algebra zeigen.)

Das Lemma 3.2.7 aus Abschnitt 3.2 ist Anwendung einer mehrdimensionale Version des ”Ergänzungslemmas“ 3.1.2 aus Abschnitt 3.1 welche auch analog zu diesem bewiesen wird . Dazu benötigen wir zunächst das

Theorem 3.3.1 Der Ring S erfüllt die eingeschränkte Minimalbedingung, d.h. S selbst hat unendliche Länge, während für jedes von Null verschiedene Linksideal I von S der Faktormodul S/I endliche Länge hat.

Beweis. Zunächst stellen wir fest, daß S selbst unendliche Länge hat, da die von aufsteigenden ∂ -Potenzen erzeugten Ideale eine unendlich lange absteigende Kette von S-Idealen bilden. Ist nun S die Weyl-Algebra, so folgt die Behauptung aus Lemma 2.7.2 angewandt auf K := K. Sei also S jetzt der Ring D(x)⟨∂⟩ . Betrachten wir zunächst den Fall eines Hauptideales I, also I = Sρ für von Null verschiedenes ρ ∈ S. Da x in S eine Einheit ist, können wir o.B.d.A. voraussetzen, daß ρ = ∂^{t}+p_{t−1}∂^{t−1}+⋯+p_{0} ist, für t > 0 ∈ N und p_{i} ∈ D(x) (i = 0⋯t−1). Die Zahl t wird als ∂ -Grad von ρ bezeichnet. Durch Division mit Rest ist es dann möglich, zu jedem Element von S/Sρ einen Repräsentanten in S mit ∂ -Grad echt kleiner als t anzugeben. Also ist S/Sρ ein D(x)-Vektorraum der Dimension t (mit der Basis 1, ∂⋯∂^{t−1}). Vektorräume endlicher Dimension haben aber stets auch endliche Länge und da Untermoduln von S/Sρ auch Untervektorräume sind, liefert dies die Behauptung.

Ist dagegen I kein Hauptideal, so ist die Länge von S/I durch die Länge von S/Sρ für ρ ≠ 0 ∈ I beschränkt.

Korollar 3.3.2 Ist ρ ein von Null verschiedenes Element von S, so hat der S-Modul S^{(m)}/S^{(m)}ρ endliche Länge.

Beweis. Zur Erinnerung sei noch einmal gesagt, daß S^{(m)} den freien S-Modul vom Rang m mit den freien Erzeugern ε_{1}⋯ε_{m} bezeichnet und daß S^{(m)}ρ der von den Elementen ρε_{1}⋯ρε_{m} erzeugte S^{(m)}-Untermodul ist. Unter Verwendung der Isomorphiesätze finden wir:

S^{(m)}/S^{(m)}ρ = \frac{Sε_{1} ⊕ ⋯ ⊕ Sε_{m}}{Sρε_{1} ⊕ ⋯ ⊕ Sρε_{m}} ≃ S/Sρ ⊕ ⋯ ⊕ S/Sρ

S^{(m)}/S^{(m)}ρ ist also isomorph zur direkten Summe von m Kopien von S/Sρ und hat deshalb die m-fache Länge des letzteren Moduls.

Als nächstes erinnern wir uns, daß wir beim Beweis von Lemma 3.1.2 aufgrund der Einfachheit von A_{1} stets in der Lage waren, ein Linksideal durch Rechtsmultiplikation zu verlassen. Das nächste Lemma liefert eine mehrdimensionale Verallgemeinerung dieser Tatsache:

Lemma 3.3.3 Sind δ_{1}⋯δ_{m} K-linear unabhängige Elemente von K⟨x, ∂⟩ und ρ ≠ 0 ∈ S, so ist der von den Elementen ρδ_{1}fε_{1} + ⋯ + ρδ_{m}fε_{m} für f ∈ K⟨x, ∂⟩ erzeugte Untermodul von S^{(m)} gleich S^{(m)}.

In Komplexschreibweise: S(ρδ_{1}ε_{1} + ⋯ + ρδ_{m}ε_{m})K⟨x, ∂⟩ = S^{(m)}

Beweis. Der Beweis ist im Prinzip elementar, jedoch stellenweise sehr technisch und durch das Auftreten von Indizes und Summenzeichen vielleicht auch verwirrend. Deshalb soll dem eigentlichen Beweis eine informelle Beschreibung der Strategie vorangehen, bei der wir der Einfachheit halber ρ = 1 voraussetzen.

Mit M wollen wir den in der Aussage beschriebenen Untermodul von S^{(m)} bezeichnen. Daß M = S^{(m)} ist, zeigen wir, indem wir nachweisen, daß die Erzeuger ε_{1}⋯ε_{m} sämtlich in M liegen.

Es gilt also, durch Links- und Rechtsmultiplizieren und Addieren ein δ_{j} zu Eins und alle anderen zu Null zu machen. Und dies für jedes δ_{j}. Für sich genommen ist das einfach, das Problem besteht darin, daß wir mit allen δ_{j} jeweils dieselben Transformationen vornehmen müssen.

Wir stellen nun fest, daß die Bildung eines Kommutators mit x, d. h. f ↦ [f, x] = fx − xf den ∂ -Grad von f um Eins reduziert, und daß der Modul M unter Kommutatorbildung abgeschlossen ist. Die Anwendung des Kommutators mit x reduziert also simultan den ∂ -Grad jedes der δ_{j} um Eins. Machen wir das so oft, wie der größte ∂ -Grad eines der δ_{j} angibt, so wird dieses zu einem Polynom in x, während alle anderen δ_{j} verschwinden. Dieses x-Polynom können wir dann mit ∂ -Kommutatoren, d.h. f ↦ [f, ∂] = f∂ − ∂f zu einer von Null verschiedenen Konstanten in K und damit zu Eins machen.

Wir haben auf diese Weise gezeigt, daß ein ε_{j} – sagen wir der Einfachheit halber ε_{1} – in M liegt.

Konzentrieren wir uns jetzt auf die verbleibenden δ_{2}⋯δ_{m}, so können wir wiederum durch Anwendung von Kommutatoren das δ_{j} mit dem zweitgrößten ∂ -Grad – dieses sei δ_{2} – zu Eins und δ_{3}⋯δ_{m} zu Null machen.

Natürlich ist dann δ_{1} nicht Null, aber da wir ja schon gezeigt haben, daß ε_{1} in M liegt, können wir ein entsprechendes Vielfaches von ε_{1} von dem erhaltenen Term subtrahieren und erhalten so ε_{2} allein. So arbeiten wir weiter, bis wir alle ε_{j} erzeugt haben.

Das beschriebene Verfahren funktioniert allerdings nur, wenn alle δ_{j} verschiedenen ∂ -Grad haben; oder wenn zwei δ_{j} schon gleichen ∂ -Grad haben, sie sich wenigstens im Grad des nach iterierter Kommutatorbildung verbleibenden x-Polynoms voneinander unterscheiden. (Dann lassen sie sich nämlich durch die ∂ -Kommutatoren voneinander trennen.)

Diese Normalbedingung können wir aber stets durch eine K-lineare Transformation der δ_{j} erreichen und, wie wir sehen werden, ändert eine solche nichts an Voraussetzung und Behauptung.

Nach dieser Einführung jetzt also ein formaler Beweis der Aussage:

Zunächst überlegen wir uns, daß es genügt, zu zeigen, daß ε_{1} in M liegt: Mit Induktion über m können wir annehmen, daß sich die Erzeuger ε_{2}⋯ε_{m} aus Elementen der Form ρδ_{2}fε_{2} + ⋯ + ρδ_{m}fε_{m} (f ∈ K⟨x, ∂⟩) S-linear kombinieren lassen. Ist also etwa

ε_{2} = ∑_{ν} H_{ν}(ρδ_{2}f_{ν}ε_{2} + ⋯ + ρδ_{m}f_{ν}ε_{m})

so liegt wegen

∑_{ν} H_{ν}(ρδ_{1}f_{ν}ε_{1} + ⋯ + ρδ_{m}f_{ν}ε_{m}) = (∑_{ν} H_{ν}ρδ_{1}f_{ν})ε_{1} + ε_{2}

letzterer Term in M und mit ε_{1} dann auch ε_{2}.

Als nächstes überlegen wir uns, daß Voraussetzung und Behauptung unverändert bleiben, wenn wir die δ_{j} durch δ̃_{j} := ∑_{ν} k_{jν}δ_{ν} ersetzen, falls K := (k_{jν}) eine invertierbare m × m-Matrix mit Einträgen aus K ist. Ist nämlich der von den Elementen ρδ̃_{1}fε_{1} + ⋯ + ρδ̃_{m}fε_{m} erzeugte Untermodul gleich S^{(m)}, so lassen sich insbesondere die Elemente ε̃_{j} := ∑_{ν} u_{jν}ε_{ν}, wobei U := (u_{jν}) = (K^{T})^{−1} die zu K^{T} inverse Matrix ist, aus ρδ̃_{1}ε_{1} + ⋯ + ρδ̃ε_{m} durch Links- und Rechtsmultiplikation mit Elementen von S bzw. K⟨x, ∂⟩ kombinieren.

Dieselben Kombinationen angewandt auf ρδ_{1}ε_{1} + ⋯ + ρδ_{1}ε_{m} liefern dann die Erzeuger ε_{j}.

Mit Hilfe der in Abschnitt 2.4 eingeführten Normalform können wir jedes Element a von K⟨x, ∂⟩ in der Form a = a_{0}(x) + a_{1}∂ + ⋯ + a_{t}(x)∂^{t} wobei

a_{t}(x) ≠ 0, a_{j}(x) ∈ K[x], t ∈ N

schreiben. Die Zahl t nennen wir ∂ -Grad von a, während wir den x-Grad von a_{t} als Leitkoeffizientengrad von a bezeichnen. Den Term a_{t}(x) selbst nennen wir Leitkoeffizienten von a.

Durch eine geeignete Transformation der δ_{i} in δ̃_{i} können wir dann erreichen, daß der ∂ -Grad von δ̃_{1} maximal ist und daß alle δ̃_{j} mit ebenso großem ∂ -Grad wie δ̃_{1} echt kleineren Leitkoeffizientengrad als δ̃_{1} haben:

Durch einfaches Umordnen erhalten wir bereits maximalen ∂ -Grad und maximalen Leitkoeffizientengrad für δ̃_{1}. Sollte nun etwa δ̃_{2} gleichen ∂ -Grad und gleichen Leitkoeffizientengrad wie δ̃_{1} haben, so können wir letzteren durch Subtraktion eines geeigneten K-Vielfachen von δ̃_{1} um mindestens eins reduzieren. (Die δ_{i} sind ja linear unabhängig über K.)

Um Tilden zu sparen, nehmen wir ab jetzt o.B.d.A. an, daß bereits die δ_{j} obiger Bedingung genügen.

An dieser Stelle müssen wir unterscheiden, ob wir es mit der Weyl-Algebra A_{1}(K) oder mit dem Ring D(x)⟨∂⟩ zu tun haben. Ist letzteres der Fall, so können wir, da K(x) nur aus Einheiten in D(x)⟨∂⟩ besteht, annehmen, daß ρ = ∂^{t} + ρ′, wobei der ∂ -Grad von ρ′ ∈ D(x)⟨∂⟩ höchstens t − 1 beträgt. Die Produkte ρδ_{j} haben dann die Form

d_{j}∂^{t+s_{j}} + r_{j}

wobei d_{j} der Leitkoeffizient und s_{j} der ∂ -Grad von δ_{j}ist und r_{j} ein Element von D(x)⟨∂⟩ mit ∂ -Grad echt kleiner als t + s_{j} ist. Auch das Produkt ρδ_{1} hat also maximalen ∂ -Grad und größten Leitkoeffizientengrad innerhalb der Produkte ρδ_{j} mit ebenso großem ∂ -Grad wie ρδ_{1}.

Sei jetzt S die Weyl-Algebra A_{1}(K). Da in diesem Fall nicht durch x dividiert werden kann, macht es Sinn vom Leitkoeffizientengrad von ρ zu sprechen. Dieser sei s. Bezeichnen wir mit t wiederum den ∂ -Grad von ρ, so sind die ∂ -Grade bzw. die Leitkoeffizientengrade der Produkte ρδ_{j} jeweils um s bzw. t höher, als die der δ_{j} respektive.

Unabhängig von S erfüllen die Produkte ρδ_{j} also die folgenden Bedingungen:

1.

ρδ_{1} = d_{1}∂^{t+w} + r_{1}

wobei d_{1} ein Polynom in x mit Grad v ist und r_{1} ein Element von S mit ∂ -Grad echt kleiner als t + w bezeichnet.

2. Für j ≠ 1 ist

ρδ_{j} = d_{j}∂^{t+s_{j}} + r_{j}

wobei die d_{j} Polynome in x sind und der ∂ -Grad von r_{j} echt kleiner als t + s_{j} ist.

3. Die ∂ -Grade t+s_{j} der Produkte ρδ_{j} betragen höchstens t+w, den ∂ -Grad von ρδ_{1}.

4. Erreicht ein Produkt ρδ_{j} den ∂ -Grad t+w, so ist der x-Grad des entsprechenden Polynoms d_{j} echt kleiner als v – der Grad von d_{1}.

Jetzt wollen wir die Wirkung des oben eingeführten Kommutators mit x auf die Produkte ρδ_{j} untersuchen. Wir stellen fest, daß dieser D(x) bzw. K[x] linear ist und daß [∂^{k}, x] = k∂^{k−1} ist. Daraus ergibt sich, daß die t-fache Iteration dieses Kommutators angewandt auf ρδ_{1} den ∂ -freien Term t!d_{1} liefert. Angewandt auf die Produkte mit kleinerem ∂ -Grad liefert der iterierte x-Kommutator Null, während für die Produkte mit ∂ -Grad t das Ergebnis ein x-Polynom allerdings mit kleinerem Grad als der von t!d_{1} ist. Um nicht unnötig Indizes anzuhäufen wollen wir annehmen, daß das einzige Produkt mit letzterer Eigenschaft ρδ_{2} ist.

Da M unter Kommutatorbildung (derselbe Kommutator für alle Produkte ρδ_{j}) abgeschlossen ist, haben wir somit gezeigt, daß t!d_{1}ε_{1} + t!d_{2}ε_{2} in M liegt.

An dieser Stelle bringen wir den K-linearen Kommutator mit ∂ ins Spiel, welcher den Grad eines x-Polynoms um eins reduziert. ([x^{k}, ∂] = k!x^{k−1}) Den Grad von d_{1} haben wir mit v bezeichnet, und so macht die v-fache Iteration des ∂-Kommutators t!d_{1} zu t!v!, während sie t!d_{2} verschwinden läßt.

Wenden wir also den v-fach iterierten ∂ -Kommutator auf das eben erhaltene Element t!d_{1}ε_{1} + t!d_{2}ε_{2} an, so erhalten wir t!v!ε_{1} und da (char K = 0) t!v! eine Einheit in S ist, haben wir gezeigt, daß ε_{1} in M liegt. □

Indem wir das Argument aus Abschnitt 2.5 auf diese Situation anwenden erhalten wir folgenden

Korollar 3.3.4 Ist M ≠ S^{(m)} ein echter Untermodul von S^{(m)} und sind δ_{1}⋯δ_{m} K-linear unabhngige Elemente von K⟨x, ∂⟩ , ist weiterhin ρ ein von Null verschiedenes Element von S, so existiert f ∈ K⟨x, ∂⟩ mit

ρδ_{1}fε_{1} + ⋯ + ρδ_{m}fε_{m} ∉ M

Die dazu in einem gewissen Sinne duale Aussage ist

Lemma 3.3.5 Ist M Untermodul von S^{(m)}, derart daß S^{(m)}/M endliche Länge hat und ist w ein Element von S^{(m)}, so existiert t ≠ 0 ∈ S, so daß tw ∈ M

Beweis. Wir betrachten die S-lineare Abbildung

ϕ : S → S^{(m)}/M
t ↦ tw + M

Wäre ϕ injektiv, so hätte S^{(m)}/M einen zu S isomorphen Untermodul, nämlich Im ϕ. Da S im Gegensatz zu S^{(m)}/M unendliche Länge hat, ist das unmöglich. Also hat ϕ von Null verschiedenen Kern und jedes t ≠ 0 ∈ Ker ϕ genügt der Behauptung. □

Konstruktiver(er) Beweis. Es ist

S^{(m)} ⊃ M + Sw ⊃ M + S∂w ⊃ ⋯ ⊃ M + S∂^{k}w ⊃ ⋯ ⊃ M

Wegen der endlichen Länge von S^{(m)}/M können nur endlich viele dieser Inklusionen echt sein, es gibt also ein k ∈ N mit M + S∂^{k}w = M + S∂^{k+1}w. Daraus erhalten wir m ∈ M und s ∈ S, so daß ∂^{k}w = m+s∂^{k+1}w wird. Nun ist s∂^{k+1}−∂k von Null verschieden, da ∂ keine Einheit in S ist. Also leistet t := s∂^{k+1} − ∂k wegen tw = m ∈ M das Verlangte.□

Daß diese Aussage nicht für beliebige Moduln gilt, sieht man an dem Beispiel M = Sε_{1} und w = ε_{2}.

Wir haben jetzt genug Vorbereitungen getroffen, um die ”mehrdimensionale“ Verallgemeinerung von Lemma 3.1.2 beweisen zu können:

Lemma 3.3.6 Ist M Untermodul von S^{(m)} derart, daß S^{(m)}/M von endlicher Länge ist; sind δ_{1}⋯δ_{m} K-linear unabhängige Elemente von K⟨x, ∂⟩ und ist ρ von Null verschiedenes Element von S, so existiert f ∈ K⟨x, ∂⟩, so daß

M + S(ρδ_{1}fε_{1} + ⋯ + ρδ_{m}fε_{m}) = S^{(m)}

Beweis. Wir wollen der besseren Lesbarkeit halber

w := ρδ_{1}ε_{1} + ⋯ + ρδ_{m}ε_{m}

und für beliebiges f ∈ K⟨x, ∂⟩

wf := ρδ_{1}fε_{1} + ⋯ + ρδ_{m}fε_{m}

setzen. Mit diesen Vereinfachungen garantiert die Behauptung also die Existenz von f ∈ K⟨x, ∂⟩ mit

M + Swf = S^{(m)}

Dies beweisen wir durch Induktion über die Länge von S^{(m)}/M:

Hat S^{(m)}/M die Länge 0, so ist M = S^{(m)} und die Behauptung folgt für beliebiges f. Sei also M ≠ S^{(m)}; dann finden wir mit Korollar 3.3.4 ein Element f_{0} ∈ K⟨x, ∂⟩, so daß

M ^{⊂}_{≠} M + Swf_{0}

Wegen der endlichen Länge von S^{(m)}/M können wir uns dann einen Modul M′ verschaffen, der ”zwischen“ diesen beiden Moduln liegt:

M ^{⊂}_{≠} M′ ⊂ S^{(m)}

und dessen Faktormodul nach M irreduzibel ist, d. h. M′/M ist irreduzibel.

Mit dem eben gezeigten Lemma finden wir t ∈ S mit twf_{0} ∈ M und wenden dann die Induktionshypothese auf M′ und tw an (tw genügt mit ρ ersetzt durch tρ der Voraussetzung). Das liefert f_{1} ∈ K⟨x, ∂⟩ mit M′ + Stwf_{1} = S^{(m)}.

Ist jetzt sogar M + Swf_{1} = S^{(m)}, so folgt die Behauptung mit f := f_{1}. Ist das nicht der Fall, so können wir wiederum zeigen, daß f := f_{0} + f_{1} das Verlangte leistet:

M_{1} := M + Sw(f_{0} + f_{1}) =^{!} S^{(m)}

Wegen twf_{0} ∈ M ⊂ M_{1} und tw(f_{0} + f_{1}) ∈ M_{1}, ist auch twf_{1} ∈ M_{1}. Wäre sogar wf_{1} ∈ M_{1}, so hätten wir wegen w(f_{0} + f_{1}) ∈ M_{1} auch wf_{0} ∈ M_{1} und damit M′ ⊂ M_{1}. Da aber M′ und twf_{1} zusammen bereits S^{(m)} aufspannen, wäre damit die Behauptung bewiesen.

Zeigen wir also, daß wf_{1} in M_{1} liegt. Dazu setzen wir N := Stwf_{1} und betrachten

\frac{S^{(m)}}{M + N} = \frac{M′ + N}{M + N} = \frac{M′ + M + N}{M + N} ≃

\frac{M′}{M′ ∩ (M + N)} = \frac{M′}{M + (M′ ∩ N)}

Letzterer Modul (und damit auch S^{(m)}/(M +N)) ist irreduzibel oder Null, da bereits M′/M irreduzibel ist. Die einzigen S^{(m)}-Untermoduln, die M +N enthalten, sind folglich M + N und S^{(m)} selbst. M + Swf_{1} ist solch ein S^{(m)}-Untermodul, und da wie vorausgesetzt von S^{(m)} verschieden, gleich M + N. Wir erhalten also

M + Stwf_{1} = M + Swf_{1}

und deshalb

wf_{1} ∈ M_{1} = M + Sw(f_{0} + f_{1})

weil twf_{1} in M_{1} liegt.□

Der Beweis von Lemma 3.2.7. Solcherart vorbereitet sind wir in der Lage, das Lemma 3.2.7 zu beweisen. Hier noch einmal dessen Aussage:

Lemma 3.2.7 Seien δ_{1}⋯δ_{m} K-linear unabhängige Elemente von K⟨x_{r+1}, ∂r + 1⟩ und ρ ≠ 0 ∈ A_{r+1}[x_{r+2}⋯x_{n}] ein Element der Zählermenge von S.

Dann gibt es f ∈ K⟨x_{r+1}, ∂r + 1⟩, so daß

S^{(m+1)} = S^{(m+1)}ρ + S(ε_{0} + δ_{1}fε_{1} + ⋯ + δ_{m}fε_{m})

Wir wollen es gleich für beliebiges ρ ≠ 0 ∈ S und auch für den Fall, daß S = A_{1}(K) ist, zeigen.

Lemma 3.3.6 angewandt auf ρ und δ_{1} ⋯ δ_{m}, sowie M := S^{(m)}ρ (In Korollar 3.3.2 wurde gezeigt, daß dieser Modul endliche Länge hat) liefert f ∈ K⟨x, ∂⟩ mit

S^{(m)}ρ + S(ρδ_{1}fε_{1} + ⋯ + ρδ_{m}fε_{m}) = S^{(m)}

Um einzusehen, daß daß dieses f auch der Behauptung von Lemma 3.3.6 genügt, setzen wir

N := S^{(m+1)}ρ + S(ε_{0} + δ_{1}fε_{1} + ⋯ + δ_{m}fε_{m})

Wegen S^{(m)}ρ ⊂ N und ρδ_{1}fε_{1} + ⋯ ρδ_{m}fε_{m} ∈ N ist auch S^{(m)} ⊂ N.

Es bleibt zu zeigen , daß ε_{0} in N liegt. Das aber wird sofort deutlich, wenn wir bedenken, daß ε_{0} + δ_{1}fε_{1} + ⋯ + δ_{m}fε_{m} in N und für i = 1⋯m auch ε_{i} in N liegen. □

4 Ein Beispiel

In diesem Kapitel soll der Beweis von Stafford’s Theorem anhand eines einfachen und dennoch nichttrivialen Beispiels nachvollzogen werden:

Betrachten wir – wie in der Einleitung geschehen – die unendlichoft stetig partiell differenzierbaren Funktionen von C^{3} nach C als A_{3}-Modul, so ist das A_{3}- Ideal A_{3}∂_{1}+A_{3}∂_{2}+A_{3}∂_{3} genau das Annihilationsideal der konstanten Funktionen. Erzeugen wir dieses Ideal nun durch zwei Elemente, so erhalten wir zwei lineare Differentialgleichungen mit polynomialen Koeffizienten, die das Konstantsein einer dreistelligen Funktion beschreiben:

4.1 Erster Schritt: Lemmata 3.2.2, 3.2.4

Wir wollen der besseren Lesbarkeit halber für ∂_{1} X, für ∂_{2} Y und für ∂_{3} Z schreiben. Ebenso ersetzen wir die Variablen x_{1} , x_{2} , x_{3} durch x, y, z resp. Setzen wir also

a := X
b := Y
c := Z

Für den Induktionsanfang gemäß Lemma 3.2.2 benötigen wir von Null verschiedene Elemente q, h_{1} und h_{2}, so daß qc = h_{1}a + h_{2}b gilt. Wegen

X · Z = (Y + Z) · X + (−X) · Y

haben wir mit

q := X
h_{1} := Y + Z
h_{2} := −X

bereits die Aussage von Lemma 3.2.2 für r = 1. (Es ist ja q = X ∈ A_{1}[y, z]) Als nächstes müssen wir h_{1} und h_{2} von rechts zu Null linearkombinieren: Mit

(Y + Z) · X + (−X) · (Y + Z) = 0

erhalten wir die gewünschten Elemente

g_{1} := X
g_{2} := Y + Z

derart, daß

h_{1}g_{1} + h_{2}g_{2} = 0

wird.

Schließlich sind nun noch Elemente s, t mit sqc = tb zu bestimmen; wegen

Y XZ = XZY

leisten

s := Y
t := XZ

das Verlangte. Es ist also Lemma 3.2.5 auf

u := sq = XY
v := tg_{2} = XZ · (Y + Z) = XY Z + XZ^{2}

und q anzuwenden.

4.2 Zweiter Schritt: Lemmata 3.2.5, 3.2.8

Gesucht wird jetzt f ∈ A_{3} mit R = Rq + R(u + vf), wobei R der partielle Quotientenring von A_{3} mit der Nennermenge K[x, y, z] ist. (Wir befinden uns ja bereits auf der Stufe r = 0.)

Wie sich zeigt, ist in diesem speziellen Fall nur der Nenner Eins erforderlich, so daß wir Elemente D, E und f von A_{3} mit

1 = Dq + E(u + vf)
= D · X + E · (XY + (XY Z + XZ^{2}) · f)

suchen.

Dazu müssen wir wie beschrieben v in eine Summe

v = ∑_{j=1}^{m} δ_{j}Gj

mit δ_{j} ∈ K⟨x, X⟩ zerlegen: Wir erhalten

δ_{1} := X
G_{1} := Y Z + Z^{2}

und somit m = 1. Jetzt kommen wir zum ersten nichttrivialen Schritt: G_{1} = Y Z + Z^{2} ist durch Links- und Rechtsmultiplikation zu 1 zu machen. Bilden wir also gemäß Abschnitt 2.5 den Kommutator mit z:

[G_{1}, z] = Y Zz + Z^{2}z − zY Z − zZ^{2}
= Y + 2Z

Nochmalige Kommutatorbildung liefert:

[Y + 2Z, z] = Y z − zY + 2Zz − 2zZ
= 2

Fassen wir dies zusammen und dividieren wir durch 2, so erhalten wir

Y_{1} := \frac{1}{2}z^{2}
Y_{2} := −z
Y_{3} := 1

und

H_{1} := 1
H_{2} := z
H_{3} := \frac{1}{2}z^{2}

mit

1 = ∑_{ν=1}^{3} Y_{ν}G_{1}H_{ν}

Es ist also dreimal das Lemma 3.2.7 bzw. der Hilfssatz 3.2.8 anzuwenden. Dazu setzen wir zunächst

B_{1} := G_{1}H_{1} = Y Z + Z^{2}

und bestimmen ein Element ρ mit ρB_{1} ∈ A_{3}q und ρu ∈ A_{3}q: Weil u = XY schon in A_{3}q liegt, und B_{1} mit q kommutiert, leistet ρ = X das Verlangte:

\begin{aligned}ρu & = & X · XY & ∈ & A_{3}q \\ ρB_{1} & = & X · (Y Z + Z^{2}) & ∈ & A_{3}q \end{aligned}

4.3 Die erste Anwendung von 3.2.7

Gesucht ist f_{1} ∈ K⟨x, X⟩, so daß

S^{2} = S^{2} · X + S(ε_{0} + X · f_{1}ε_{1})

Da wir bei diesem Beispiel wie schon gesagt ohne Nenner auskommen, beschränken wir uns auf K⟨x, X⟩ und versuchen das Gleichungssystem

\begin{aligned}U_{1}^{00} · X & + & V_{1}^{0} & = & 1 \\ U_{1}^{10} · X & + & V_{1}^{0} · X · f_{1} & = & 0 \\ U_{1}^{01} · X & + & V_{1}^{1} & = & 0 \\ U_{1}^{11} · X & + & V_{1}^{1} · X · f_{1} & = & 1 \end{aligned}

für U, V ∈ K⟨x, X⟩ zu lösen. U_{1}^{i0} und V_{1}^{0} bezeugen dann die Zugehörigkeit von ε_{0} und U_{1}^{i1}, V_{1}^{1} die von ε_{1} zu S^{2}ρ + S(ε_{0} + δ_{1}f_{1}ε_{1}) jeweils. (Der Index Eins meint die erste Anwendung von Lemma 3.2.7)

Um dieses System zu lösen, betrachten wir die Hilfsgleichung

S = Sρ + Sρδ_{1}f

bzw.

P · X + Q · X^{2} · f_{1} = 1

mit P, Q, f_{1} ∈ K⟨x, X⟩. Letztere können wir lösen, indem wir das Produkt X^{2} ·x^{2} in die Normalform entwickeln:

X^{2} · x^{2} = (xX^{2} + 2X) · x = x^{2}X^{2} + 4xX + 2

Das liefert die Lösung

P := −\frac{1}{2}(x^{2}X + 4x)
Q := \frac{1}{2}
f_{1} := x^{2}

Aus dieser Lösung erhalten wir (Rechtsmultiplikation mit ε_{1}) wegen

ε_{1} = P ρε_{1} + Qρδ_{1}f_{1}ε_{1}
= P ρε_{1} − Qρε_{0} + Qρ(ε_{0} + δ_{1}f_{1}ε_{1})

zunächst

U_{1}^{01} = −Q = −\frac{1}{2}
U_{1}^{11} = P = −\frac{1}{2}(x^{2}X + 4x)
V_{1}^{1} = Qρ = \frac{1}{2}X

und wegen

ε_{0} = ε_{0} + δ_{1}f_{1}ε_{1} − δ_{1}f_{1}ε_{1}

schließlich

U_{1}^{00} = −δ_{1}f_{1}U_{1}^{01} = \frac{1}{2}x^{2}X + x
U_{1}^{10} = −δ_{1}f_{1}U_{1}^{11} = \frac{1}{2}x^{4}X^{2} + 4x^{3}X + 6x^{2}
V_{1}^{0} = 1 − δ_{1}f_{1}V_{1}^{1} = −\frac{1}{2}x^{2}X^{2} − xX + 1

als Lösung des ursprünglich gegebenen Gleichungssystems.

4.4 Dritter Schritt: Wieder Lemma 3.2.8

Mit diesen Werten gehen wir jetzt in Lemma 3.2.8, was zunächst

Ru + RG_{1}H_{1} = Rρu + RρG_{1}H_{1} + Rδ_{1}f_{1}G_{1}H_{1}

und dann –wie im entsprechenden Beweis beschrieben–

Rq + Ru + RG_{1}H_{1} = Rq + R(u + vf_{1}H_{1})

liefert. Es existieren also Elemente K_{1}^{u}, L_{1}^{u}, K_{1}^{B_{1}}, L_{1}^{B_{1}} von R – bzw., da wir ohne Nenner auskommen, von A_{3} – derart, daß

u = K_{1}^{u}q + L_{1}^{u}(u + vf_{1}H_{1})
G_{1}H_{1} = K_{1}^{B_{1}}q + L_{1}^{B_{1}}(u + vf_{1}H_{1})

Wegen

u = π(ε_{0}) = U_{1}^{00}ρu + U_{1}^{10}ρG_{1}H_{1} + V_{1}^{0}(u + vf_{1})
= (U_{1}^{00} · XY + U_{1}^{10} · (Y Z + Z^{2}))q + V_{1}^{0}(u + vf_{1})

und

G_{1}H_{1} = π(ε_{1}) = U_{1}^{01}ρu + U_{1}^{11}ρG_{1}H_{1} + V_{1}^{1}(u + vf_{1})
= (U_{1}^{01} · XY + U_{1}^{11} · (Y Z + Z^{2}))q + V_{1}^{1}(u + vf_{1})

(Es ist ja ρu = XY · q und ρG_{1}H_{1} = (Y Z + Z^{2})q.) ergeben sich die Zeugen K, L zu

K_{1}^{u} = U_{1}^{00} · XY + U_{1}^{10} · (Y Z + Z^{2})
L_{1}^{u} = V_{1}^{0}
K_{1}^{B_{1}} = U_{1}^{01} · XY + U_{1}^{11} · (Y Z + Z^{2})
L_{1}^{B_{1}} = V_{1}^{1}

Die Darstellung dieser Zeugen in Normalform geben wir nicht mehr an.

Für die nächste Anwendung von 3.2.7 setzen wir

u_{2} := u + vf_{1}H_{1} = (x^{2}X + 2x)(Y + Z^{2}) + XY
B_{2} := G_{1}H_{2} = (Y Z + Z^{2})z = zZ^{2} + zY Z + Y + 2Z

und suchen ρ mit ρu_{2} ∈ A_{3}q und ρB_{2} ∈ A_{3}q. In u_{2} kommt jetzt eine x-Potenz vor; um rechts ein X herausziehen zu können, müssen wir deshalb mindestens mit X^{2} von links multiplizieren. In der Tat ist

X^{2} · u_{2} = (X^{2} · x^{2} · X + 2xX^{2} + 4X)(Y + Z^{2}) + X
= (x^{2}X^{2} + 6xX + 6)(Y + Z^{2}) · X

und

X^{2} · B_{2} = X · B_{2} · X

Also können wir

ρ := X^{2}

setzen.

4.5 Die zweite Anwendung von 3.2.7

Zu bestimmen sind f_{2} und Zeugen U_{2}, V_{2} mit

\begin{aligned}U_{2}^{00} · X^{2} & + & V_{2}^{0} & = & 1 \\ U_{2}^{10} · X^{2} & + & V_{2}^{0} · X · f_{2} & = & 0 \\ U_{2}^{01} · X^{2} & + & V_{2}^{1} & = & 0 \\ U_{2}^{11} · X^{2} & + & V_{2}^{1} · X · f_{2} & = & 1 \end{aligned}

bzw f_{2} derart, daß

S^{(2)} = S^{(2)}X^{2} + S(ε_{0} + X · f_{2}ε_{1})

Dazu betrachten wir wiederum die Hilfsgleichung

P · X^{2} + Q · X^{3} · f_{2} = 1

Wir vermuten, daß

f_{2} := x^{3}

das Gewünschte leistet und betrachten zum Beweis das Ideal

I := SX^{2} + SX^{3} · x^{3}

Wegen

X^{3} · x^{3} = x^{3}X^{3} + 9x^{2}X^{2} + 18xX + 6

ist

18xX + 6 ∈ I

Multiplizieren wir das mit xX, so kommt

xX · (18xX + 6) = 18x^{2}X^{2} + 24xX

Reduktion modulo X^{2} liefert

24xX ∈ I

und somit 1 ∈ I. Fassen wir die verwendeten Multiplikatoren zusammen, so erhalten wir

P = \frac{1}{8}(xX(x^{3}X + 9x^{2}) + 18x^{2}) − \frac{1}{6}(x^{3}X + 9x^{2})
= \frac{1}{8}x^{4}X^{2} + \frac{4}{3}x^{3}X + 3x^{2}
Q = −\frac{1}{8}xX + \frac{1}{6}

Daraus ergeben sich die Zeugen U_{2}, V_{2} nach den bei der ersten Anwendung von 3.2.8 gegebenen Formeln zu

U_{2}^{00} = −\frac{1}{8}x^{4}X^{2} − \frac{1}{3}x^{3}X + \frac{1}{2}x^{2}

U_{2}^{10} = −\frac{1}{8}x^{7}X^{3} − \frac{53}{24}x^{6}X^{2} − 11x^{5}X − 15x^{4}
V_{2}^{0} = \frac{1}{8}x^{4}X^{4} + \frac{1}{3}x^{3}X^{3} − \frac{1}{2}x^{2}X^{2} + 1
U_{2}^{01} = \frac{1}{8}xX − \frac{1}{6}
U_{2}^{11} = \frac{1}{8}x^{4}X^{2} + \frac{4}{3}x^{3}X + 3x^{2}
V_{2}^{1} = −\frac{1}{8}xX^{3} + \frac{1}{6}X^{2}

Aus diesen können wir wie bei der ersten Anwendung Elemente K_{2}^{u_{2}}, L_{2}^{u_{2}}, K_{2}^{B_{2}}, L_{2}^{B_{2}} mit

u_{2} = K_{2}^{u_{2}}q + L_{2}^{u_{2}}(u_{2} + vf_{1})
G_{1}H_{2} = K_{2}^{B_{2}}q + L_{2}^{B_{2}}(u_{2} + vf_{2}H_{2})

errechnen.

Wir wollen aber überdies zeigen, daß wir aus q und u_{2} + vf_{2}H_{2} = u + vf_{1}H_{1} + vf_{2}H_{2} auch G_{1}H_{1} und u linearkombinieren können.

Wir suchen also Zeugen K, L mit

u = K_{2}^{u}q + L_{2}^{u}(u + vf_{1}H_{1} + vf_{2}H_{2})
G_{1}H_{1} = K_{2}^{B_{1}}q + L_{2}^{B_{1}}(u + vf_{1}H_{1} + vf_{2}H_{2})

Diese ergeben sich zu

K_{2}^{∗} = K_{1}^{∗} + L_{1}^{∗}K_{2}^{u_{2}}
L_{2}^{∗} = L_{1}^{∗}L_{2}^{u_{2}}

wobei der Stern entweder für u oder für B_{1} steht. Für die dritte (und letzte) Anwendung von 3.2.8 setzen wir

u_{3} := u + vf_{1}H_{1} + vf_{2}H_{2}
= XY + (XY Z + XZ^{2})(x^{2} + x^{3}z)

sowie

B_{3} := G_{1}H_{3} = \frac{1}{2}(Y Z + Z^{2})z^{2}

Es ist jetzt wiederum ρ zu bestimmen mit ρu ∈ A_{3}q und ρB_{3} ∈ A_{3}q. Es zeigt sich, daß wir hier

ρ := X^{3}

setzen können.

4.6 Die dritte Anwendung von 3.2.7

Es ist die Hilfsgleichung

S · X^{3} + S · X^{4} · f_{3} = S

bzw.

P · X^{3} + Q · X^{4} · f_{3} = 1

zu lösen.

f_{3} := x^{4}

ist die einfachste Lösung. Wir setzen

I := S · X^{3} + S · X^{4} · x^{4}

Expandieren des Produkts und Reduktion modulo X^{3} liefert

I = S · X^{3} + S · (3x^{2}X^{2} + 4xX + 1)

Multiplizieren wir jetzt sukzessive mit xX und reduzieren wir anschließend modulo X^{3}, so erhalten wir

3x^{2}X^{2} + 4xX + 1 ∈ I
2x^{2}X^{2} + xX ∈ I
5x^{2}X^{2} + xX ∈ I

Diese drei Elemente können wir schon mit Koeffizienten aus K zu Eins linearkombinieren, was auf das Gleichungssystem

3a_{1} + 2a_{2} + 5a_{3} = 0
4a_{1} + a_{2} + a_{3} = 0
a_{1} = 1

führt. Dieses hat die Lösung

a_{1} = 1
a_{2} = −\frac{17}{3}
a_{3} = \frac{5}{3}

Unterwirft man die entsprechenden Zeugen derselben Linearkombination, so kommt

P = 1 · (−\frac{1}{24}x^{4}X − \frac{2}{3}x^{3}) − \frac{17}{3} · (−\frac{1}{120}x^{5}X^{2} − \frac{1}{6}x^{4}X − x^{3}) +

+ \frac{5}{3} · (−\frac{1}{120}x^{6}X^{3} − \frac{5}{24}x^{5}X^{2} − \frac{5}{3}x^{4}X − 5x^{3})

= −\frac{1}{72}x^{6}X^{3} − \frac{3}{10}x^{5}X^{2} − \frac{15}{8}x^{4}X − \frac{10}{3}x^{3}
Q = \frac{1}{24} − \frac{17}{3} · \frac{1}{120}xX + \frac{5}{3} · (\frac{1}{120}x^{2}X^{2} + \frac{1}{120xX})
= \frac{1}{72}x^{2}X^{2} − \frac{1}{30}xX + \frac{1}{24}

4.7 Zusammenfassung der gewonnenen Werte

Aus den eben gewonnenen Elementen P, Q lassen sich nach den in den früheren Abschnitten gegebenen Formeln Zeugen K_{3}^{B_{i}}, L_{3}^{B_{i}}, (i = 1, 2, 3) bestimmen, derart daß

G_{1}H_{i} = K_{3}^{B_{i}}q + L_{3}^{B_{i}}(u + vf_{1}H_{1} + vf_{2}H_{2} + vf_{3}H_{3})

Setzen wir jetzt

f = f_{1}H_{1} + f_{2}H_{2} + f_{3}H_{3} = \frac{1}{2}x^{4}z^{2} + x^{3}z + x^{2}

So wird

1 = Dq + E(u + vf)

mit

D = Y_{1}K_{3}^{B_{1}} + Y_{2}K_{3}^{B_{2}} + Y_{3}K_{3}^{B_{3}}
E = Y_{1}L_{3}^{B_{1}} + Y_{2}K_{3}^{B_{2}} + Y_{3}K_{3}^{B_{3}}

weil ∑ Y_{ν}G_{1}H_{ν} = 1 ist. Wir haben also an dieser Stelle die durch das Lemma 3.2.4 garantierten Elemente gefunden und da die Zeugen D und E beide Nenner Eins haben, ist q_{0} = 1.

Die beiden Generatoren des Ideals A_{3}X + A_{3}Y + A_{3}Z ergeben sich also zu

ϕ = a + g_{1}fc
= X + X(\frac{1}{2}x^{4}z^{2} + x^{3}z + x^{2})Z
= (\frac{1}{2}x^{4}z^{2} + x^{3}z + x^{2})XZ + X + (2x^{3}z^{2} + 3x^{2}z + 2x)Z
ψ = b + g_{2}fc
= Y + (Y + Z)(\frac{1}{2}x^{4}z^{2} + x^{3}z + x^{2})Z
= (\frac{1}{2}x^{4}z^{2} + x^{3}z + x^{2})Y Z + (\frac{1}{2}x^{4}z^{2} + x^{3}z + x^{2})Z^{2} + (x^{4}z + x^{3})Z + Y

Die Zeugen Φ, Ψ mit

c = Φϕ + Ψψ

ergeben sich aus D und E zu

Φ = Dh_{1}
Ψ = Dh_{2} + Et

wobei h_{1} = Y +Z, h_{2} = −X und t = XZ die Elemente aus dem ersten Abschnitt sind.

Löst also ein unendlichoft stetig differenzierbares f : C^{3} → C die beiden Differentialgleichungen

(\frac{1}{2}x^{4}z^{2} + x^{3}z + x^{2})f_{xz} + (2x^{3}z^{2} + 3x^{2}z + 2x)f_{z} + f_{x} = 0
(\frac{1}{2}x^{4}z^{2} + x^{3}z + x^{2})(f_{yz} + f_{zz}) + (x^{4}z + x^{3})f_{z} + f_{y} = 0

so ist f konstant.

5 Algorithmisches

In diesem Abschnitt geht es um die algorithmische Realisierung einiger bisher gemachter Existenzaussagen über die Weyl-Algebra. Um es überhaupt mit endlichen Objekten zu tun zu haben, werden wir dabei als Grundkörper K nur Q oder eine algebraische Erweiterung von Q zulassen können. Elemente von A_{n}(K) werden immer durch ihre Normaldarstellung gemäß Abschnitt 2.4 repräsentiert.

5.1 Die Multiplikation

Zu P, Q ∈ A_{n} ist die Normaldarstellung des Produkts P Q zu bestimmen.

Da Produkte von Monomen im allgemeinen wieder Polynome sind (vgl. ∂ · x = x∂ + 1), liegt eine rekursive Lösung des Problems nahe. Diese ist jedoch ausgesprochen zeitaufwendig, so daß sich die Frage nach einer iterativen Lösung erhebt.

Eine solche wird möglich, wenn es gelingt, Ausdrücke der Form ∂^{a} · x^{b} direkt, d. h. ohne Rekursion, in die Normalform zu expandieren.

Dazu erinnern wir uns an die Formel aus Abschnitt 2.4

∂ · P (x) = P (x)∂ + P′(x)

wobei P′(x) die formale Ableitung von P nach x bedeutet. Iterierte Anwendung dieser Formel liefert

∂^{a} · P (x) = ∑_{α=0}^{a} \binom{a}{α}P^{(α)}(x)∂^{a−α}

wobei P^{(α)} die α-te formale Ableitung von P nach x bedeutet.

Wenden wir dies auf P := x^{b} an, so erhalten wir:

∂^{a} · x^{b} = \{ \begin{matrix}∑_{α=0}^{a} F_{α}^{(a,b)} · x^{α+b−a}∂^{α}, falls a ≤ b \\ ∑_{β=0}^{b} F_{β}^{(b,a)} · x^{β}∂^{β+a−b}, falls a > b \end{matrix}

wobei

F_{α}^{(a,b)} := \frac{a! · b!}{α!(a − α)!(b − a + α)!} = \binom{a}{α} · b\underline{a−α} (factorial power)

Da ∂_{i} und x_{j} für i ≠ j miteinander kommutieren, lassen sich so auch Produkte mit mehreren ∂-Variablen entwickeln.

Beispiel Es sei

(yX^{3}Z^{2} + xY^{2}Z^{3}) · x^{2}z^{4}XZ

zu entwickeln. (Notation wie im Beispiel aus Kapitel 4)

Nach obiger Formel ist

X^{3} · x^{2} = x^{2}X^{3} + 6xX^{2} + 6X
Z^{2} · z^{4} = z^{4}Z^{2} + 8z^{3}Z + 12z^{2}
Z^{3} · z^{4} = z^{4}Z^{3} + 12z^{3}Z^{2} + 36z^{2}Z + 24z

Also ist das Produkt gleich

y · (x^{2}X^{3} + 6xX^{2} + 6X)(z^{4}Z^{2} + 8z^{3}Z + 12z^{2}) · XZ +
+ xY^{2} · (z^{4}Z^{3} + 12z^{3}Z^{2} + 36z^{2}Z + 24z) · XZ) =
= x^{2}yz^{4}X^{4}Z^{3} + x^{3}z^{4}XY^{2}Z^{4} + 6xyz^{4}X^{3}Z^{3} + 8x^{2}yz^{3}X^{4}Z^{2} +
+ 12x^{3}z^{3}XY^{2}Z^{3} + 6yz^{4}X^{2}Z^{3} + 48xyz^{3}X^{3}Z^{2} + 12x^{2}yz^{2}X^{4}Z +
+ 36x^{3}z^{2}XY^{2}Z^{2} + 48yz^{3}X^{2}Z^{2} + 72xyz^{2}X^{3}Z + 24x^{3}zXY^{2}Z +
+ 72yz^{2}X^{2}Z

5.2 Division

Ähnlich wie kommutative Polynome in mehreren Variablen, gestattet auch die Weyl-Algebra einen Divisionsalgorithmus, der zu einem Polynom P (dem Dividenden) und einer Menge von Polynomen {D_{1} ⋯ D_{ℓ}} (den Divisoren) ein Polynom R (den Rest) und eine Menge von Polynomen {Q_{1} ⋯ Q_{ℓ}} (die Quotienten) bestimmt, so daß gilt

P = Q_{1}D_{1} + ⋯ + Q_{l}D_{ℓ} + R

und so daß keiner der führenden Terme der Divisoren den führenden Term des Restes teilt. (”Führender Term“ bezieht sich auf eine fest vorgegebene Ordnung auf den Monomen, die den Anforderungen aus Abschnitt 2.7 genügt.)

Ist der Rest einer solchen Division Null, so liegt natürlich P im von den Divisoren erzeugten Ideal. Die Umkehrung dieser Tatsache gilt außer im Falle ℓ = 1 im allgemeinen nicht, wie wir an

1 = 0 · x + 0 · ∂ + 1

obwohl

1 = ∂x − x∂

sehen.

Ersetzt man allerdings die Divisoren durch A_{n} -Linearkombinationen derselben, die

• dasselbe Ideal wie die Divisoren erzeugen

• deren führende Terme bzgl. der Teilbarkeit minimal sind so liegt P genau dann im von den Divisoren erzeugten Ideal, wenn der Rest Null ist. Ein Erzeugendensystem, das den beiden o. a. Bedingungen genügt nennt man Groebner- oder Standardbasis. Galligo gibt in [Gal 83] ein effektives Verfahren zur Berechnung solcher Basen und damit ein effektives Verfahren zur Entscheidung der Elementschaft in einem A_{n} -Ideal. Hier noch eine Beschreibung des Divisionsalgorithmus:

input P (Dividend)

D_{1} ⋯ D_{ℓ} (Divisoren) output R (Rest)

Q_{1} ⋯ Q_{ℓ} (Quotienten) begin Q_{i} := 0 (i = 1 ⋯ l)

R := P

while Die Q_{i} und R genügen den Anforderungen nicht do Bestimme ein Monom M so daß lt(R) = lt(M · D_{i}) für ein D_{i}. R := R − lc(R)/lc(D_{i}) · M · D_{i}; Q_{i} := Q_{i} + lc(R)/lc(D_{i}) · M;

endwhile

return R, Q_{1} ⋯ Q_{ℓ} end

5.3 Ore-Faktoren

In Abschnitt 2.6 wurde gezeigt, daß zu a, b ∈ A_{n} Faktoren s, t ∈ A_{n} \ 0 existieren, so daß

sa = tb

ist. Es soll jetzt untersucht werden, wie man diese Elemente s und t aus a und b berechnen kann: Der Beweis aus Abschnitt 2.6 liefert eine Abschätzung für den Grad von s und t^{5}, so daß man diese mit unbekannten Koeffizienten ansetzen kann und die Koeffizienten dann aus einem linearen Gleichungssystem bestimmen kann. Es gibt jedoch auch einen rekursiven Algorithmus, der auf der Idee beruht, daß die führenden Terme zweier Faktoren miteinander kommutieren (lt(ab) = lt(ba)):

input a, b output s, t mit sa = tb und nicht beide Null begin if a = 0 then

s := 1; t := 0;

else Bestimme durch Division q, r mit ab = qa + r und lt(q) |̸ lt(r); Bestimme rekursiv σ, τ nicht beide gleich Null mit σa = τr; s := τq + σ; t := τa;

endif return s, t

end

Es ist offensichtlich, daß dieser Algorithmus, falls er terminiert, ein korrektes Ergebnis liefert. (Ist r = 0, dann muß σ und damit s von Null verschieden sein; ist r ≠ 0, so ist auch t ≠ 0). Ein Beweis, daß der Algorithmus immer terminiert ist noch nicht bekannt; er wurde jedoch schon an vielen Beispielen erfolgreich getestet.

Eine dritte Methode arbeitet mit Groebner-Basen: Man bestimmt eine Groebner-Basis für das von a und b erzeugte Ideal. Die Relationen zwischen den Elementen dieser Basis lassen sich durch Division bestimmen (siehe [Gal 83]) und liefern, indem man die Darstellung der Basiselemente als Linearkombination von a und b verwendet, eine Relation (also die gesuchten Elemente s und t) zwischen a und b.

5Sind a, b ∈ T_{k}, so können s und t innerhalb von T_{6n^{2}+3nk} gewählt werden.

5.4 Zur Konstruktivität der Resultate aus Abschnitt 3.3

Mit Hilfe von Groebner-Basen ist es möglich, die Frage nach der Gleichheit von und die Zugehörigkeit zu S^{(m)}-Untermoduln algorithmisch zu entscheiden. Es würde jedoch den Rahmen dieser Arbeit sprengen, diese Algorithmen darzustellen. Genaueres findet sich in [Gal 83]

Es ist klar, daß ein solcher Algorithmus gestattet, zu gegebenem M ⊂ S^{(m)} und w ∈ S^{(m)} ein Element f_{0} ∈ S mit wf_{0} ∉ M zu berechnen, falls M und w den Voraussetzungen von Lemma 3.3.4 genügen. (Lemma 3.3.3 liefert ja konstruktiv Elemente f_{1}⋯f_{ℓ} mit S^{(m)} = Swf_{1} +⋯+Swf_{ℓ}, mit dem Entscheidungsverfahren für die Elementschaft bestimmen wir dann f_{0} ∈ {f_{1}⋯f_{ℓ}} mit wf_{0} ∉ M)

Auch das Verfahren aus dem ”konstruktiv(er)en Beweis“ von Lemma 3.3.5 wird damit algorithmisch nachvollziehbar. (Mit Hilfe von Groebner-Basen läßt sich auch das Element s bestimmen.)

Betrachten wir schließlich den Beweis von 3.3.6, so sehen wir, daß es (wiederum die Entscheidbarkeit von Gleichheit und Elementschaft vorausgesetzt) genügt, zu gegebenem M, w, f_{0} einen Modul M′ mit M ⊂ M′ ⊂ M + Swf_{0} zu berechnen, um das garantierte Element f algorithmisch zu bestimmen.

Zur Bestimmung von M′ Zu diesem Problem gibt es noch keine befriedigende algorithmische Lösung, eine solche scheint jedoch eng mit dem Problem der Faktorisierung in S zusammenzuhängen:

Seien M, w, f_{0} entsprechend dem Beweis von Lemma 3.3.6 gegeben.

Wir stellen zunächst fest, daß M′ dann von der Form M + Srwf_{0} ist (dabei ist r ∈ S). Als Untermodul von S^{(m)} ist M′ nämlich endlich erzeugt und wegen M ⊂ M + Swf_{0} haben diese Erzeuger alle die Form m + rwf_{0} mit m ∈ M und r ∈ S. Wir können also schreiben:

M′ = M + Sr_{1}wf_{0} + ⋯ + Sr_{ℓ}wf_{0}

Da nun M′/M irreduzibel ist, ist auch schon

M + Sr_{1}wf_{0} = M′

wenn nicht r_{1}wf_{0} ∈ M ist.

Auf diese Weise haben wir also das ”mehrdimensionale“ Problem der Bestimmung von M′ auf das ”eindimensionale“ der Berechnung von r reduziert.

Zur letzterer Aufgabe läßt sich folgendes sagen: Gelingt es, ein t ∈ S mit twf_{0} ∈ M (so ein t läßt sich effektiv berechnen) so in zwei Faktoren s und r zu zerlegen, daß gilt:

• t = sr

• rwf_{0} ∉ M

• S/Ss ist irreduzibel

so kann man

M′ := M + Srwf_{0}

wählen.

Beweis. Es ist

0 ≠ \frac{M + Srwf_{0}}{M} ≃ \frac{Srwf_{0}}{M ∩ Srwf_{0}} ← ← \frac{Srwf_{0}}{Stwf_{0}} ≃ \frac{S}{Ss}

und letzterer Modul ist irreduzibel. (A ← ← B bedeutet, daß es einen Epimorphismus von B auf A gibt. Wenn in dieser Situation B irreduzibel ist, dann ist A irreduzibel oder Null) □

Es erhebt sich nun die Frage, ob jedes t ∈ S einen Linksfaktor s hat, derart daß S/Ss irreduzibel ist. (Wäre das der Fall, dann könnten wir aus t mit twf_{0} ∈ M solange solche Linksfaktoren extrahieren, bis wir M verlassen und hätten damit die gewünschte Situation.)

Im Falle S = A_{1}(K) ist das nicht immer so, denn wenn t = x∂ − 1 ist, dann hat t nur die trivialen Faktoren t und 1. Dennoch ist S/St nicht irreduzibel, weil

S(x∂ − 1)^{⊂}_{≠} S(x∂ − 1) + S∂^{2} ^{⊂}_{≠} S

ist.

Im Falle S = D(x)⟨∂⟩ dagegen scheint für ”algebraisch“ irreduzibles s (d. h. s hat nur die Faktoren s und 1) auch S/Ss irreduzibel zu sein und somit obige Vermutung zu gelten.

6 Schlußbetrachtung

Ans Ende dieser Arbeit möchte ich einige noch offene Fragen zu dem behandelten Themenkomplex stellen, deren Beantwortung ich für interessant halte.

Gibt es einen einfacheren Beweis für das Theorem von Stafford? Unter einem einfachen Beweis wäre hier nicht unbedingt ein kürzerer oder leichter verständlicher Beweis zu verstehen, sondern einer, der genauere Auskunft über die Struktur der beiden Erzeuger gibt und nicht nur dessen bloße Existenz garantiert.

Interessant wäre in diesem Zusammenhang die Frage, ob man auf die umständliche Induktion über die partiellen Quotientenringe verzichten kann, da diese schwer zu durchschauen ist und keinen Einblick in die Struktur der erzeugten Elemente gestattet.

Gibt es einen ”einfachen“ Algorithmus, um die beiden Erzeuger zu berechnen. Die in der Arbeit angegebenen Algorithmen, die sich an dem Originalbeweis orientieren, sind aufgrund der Verwendung von Groebner-Basen fast nur von theoretischem Interesse, da schon bei Polynomen mit relativ kleinem Grad und Koeffizienten die übliche Rechenkapazität schnell erschöpft ist.

Selbst diese komplizierten Algorithmen beantworten jedoch die Frage nach der Konstruktivität des Stafford’schen Beweises nicht vollständig, so daß sich folgende Frage erhebt:

Gibt es einen Algorithmus, der zu gegebenem M, w, ein Element f mit M +Swf = S^{(m)} bestimmt? Die Beantwortung dieser Frage ist von besonderer Bedeutung, da diese Konstruktion auch bei der Berechnung von sogenannten Bernstein-Polynomen eine Rolle spielt. ([Gal 83], [Bjo 79])

Terminiert der Algorithmus zur Berechnung von Ore-Koeffizienten aus Abschnitt 5.3? Oder gibt es einen anderen ähnlich einfachen Algorithmus, der diese Koeffizienten berechnet?

Erleichtert die Stafford’sche Konstruktion das automatische Beweisen von Identitäten? Angesichts der hohen Komplexität der beschriebenen Algorithmen dürfte eine solche Erleichterung höchstens auf theoretischem Gebiet liegen. So könnte etwa die Idee der partiellen Quotientenringe (von der Zeilberger in seiner Arbeit ja implizit Gebrauch macht) von Nutzen sein.

Literatur

[Gal 83] André Galligo

Some Algorithmic Questions on Ideals of Differential Operators EUROCAM 1983.

[Sta 78] J. T. Stafford

Module Structure of Weyl Algebras J. London. Math. Soc. (2), 18 (1978), 429-442

[Bjo 79] Jan Erik Björk Rings of Differential Operators North Holland Pub. Comp. Amsterdam · New York · Oxford 1979

[Zei 88] Doron Zeilberger A holonomic systems approach to special function identities 1988 Preprint

[Ber 72] I. N. Bernstein The analytic continuation of generalized functions w. r. t. a parameter Funz. Anal. Akad. Nauk CCCP, 6(4)1972

[Dix 70] J. Dixmier Sur les algèbres de Weyl II Bull. Soc. Math. France 94(1970)

[Lan 68] Saunders MacLane und Garrett Birkhoff Algebra The Macmillan Company New York 1968, 2. Auflage